2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（五）（解析版）.docx

公众号：卷洞洞 2020年高考金榜冲刺卷（五） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A. 2．设复数，定义.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为，所以， 则.故选：B. 3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为（ ） A．4 B．－2 C．12或－2 D．4或－4 【答案】D 【解析】抛物线上的点到焦点的距离与到抛物线的准线的距离相等，所以，解得，所以抛物线方程为，将代入方程得. 4．曲线与直线围成的平面图形的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出曲线与直线围成的平面图形如下： 由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D. 5．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为( ) A．40 B．43 C．46 D．47 【答案】C 【解析】 由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面， ，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C. 6．函数的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为 ， ，∴排除B，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，故排除A,C，故选D． 7．已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A. 8．设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的及其内部，其中，， 圆：表示以为圆心，半径为的圆， 由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点， ，，当或时，圆不经过区域上的点，故选B. 9．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分， 对事件“”，如图（2）阴影部分，对为事件“”，如图（3）阴影部分， 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为， 根据几何概型公式可得． （1） （2） （3） 10．已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）. 11．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得 ,因为是奇函数, 所以是奇函数，即, 又因为，即,所以是奇数，取k=1，此时,所以函数,因为在上没有最小值，此时, 所以此时,解得.故选D. 12．已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，因为是边长为2的等边三角形，所以面积确定， 要使三棱锥体积最大，即要使点到平面的距离最大，只有当平面平面时，体积最大，即点到边的距离最大，三棱锥的体积最大， 因为，且，外接圆的半径为， 所以点在外接圆上运动，如图所示 当点满足时，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大. 此时三棱锥的高即为的长，此时外接圆的圆心在上， 根据球的性质可知，，， 故四边形为矩形，故， 在中，球的半径平方为， 所以球的表面积为.故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中的系数为 . 【答案】70 【解析】设的展开式中含的项为第项，则由通项知．令，解得，∴的展开式中的系数为． 14．在中，为上一点，是的中点，若，，则 . 【答案】 【解析】，因为是的中点， 所以，，解得 ，.故答案为. 15．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是 . 【答案】①③④ 【解析】∵，∴曲线在点处的切线方程为， 则.∵，∴，则是首项为1，公比为的等比数列，从而，，.故所有正确结论的编号是①③④. 16．已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则 . 【答案】4 【解析】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，， 由于，，即，， 得， 所以．由于，， 可知当时，取得最小值，此时， 当时，取得最大值，此时，则，故答案为4． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在中，，是的内角平分线，点在线段上，且. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【解析】（1）在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 两式相除得，即， ∴，即，又，所以，故. （2）由，得是锐角，于是， 所以， 在中，由正弦定理得，于是， 所以. 18．（12分）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上. （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长度. 【解析】（1）证明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面. （2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 由题知，平面，∴为平面的一个法向量， 设，则，∴， 设平面的一个法向量为，则， ∴，令，可得， ∴，得或（舍去），∴. 19．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替. （i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列； （ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由. 【解析】（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（ξ＝2），P（ξ＝3）， 则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为； （2）（i），，， X的分布列如下： X 0 220 1480 P （ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），即30E（X）＝9060元， 设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元， 可得：，，， E（Y）＝02201480320（元）， 所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元）， 由19840+9060＝28900＞28800， 即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值． 【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是, 在椭圆上，,,椭圆的方程是； （2）方法1：设，则，， ∵，∴，在圆中，是切点， ∴， ∴，同理， ∴，因此△的周长是定值． 方法2：设的方程为 由得,则, , 与圆相切,即, ∵，∵，∴， 同理，∴， 因此△的周长是定值． 21．（12分）已知函数，． （1）若，，求实数的值． （2）若，，求正实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，得，， 由，…①，得， 令，则， 因为，所以在单调递增， 又，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当且仅当时等号成立． 故方程①有且仅有唯一解，实数的值为0． （2）解法一：令（）， 则， 所以当时，，单调递增; 当时，，单调递减; 故 ． 令（）， 则． （i）若时，，在单调递增， 所以，满足题意． （ii）若时，，满足题意． （iii）若时，，在单调递减， 所以．不满足题意． 综上述：． 解法二：先证明不等式，，，…（*）． 令， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即． 变形得，，所以时，， 所以当时，. 又由上式得，当时，，，. 因此不等式（*）均成立． 令（）， 则， （i）若时，当时，，单调递增; 当时，，单调递减; 故 ． （ii）若时，，在单调递增， 所以 ． 因此，①当时，此时，，， 则需 由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以． ②当时，此时，， 则当时， （由（*）知）； 当时，（由（*）知）．故对于任意，． 综上述：． (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分） 在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点. （1）当时，求点的极坐标； （2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值. 【解析】（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得，，，或，所以点的极坐标为或. （2）由题意可设，.由，得，. ,故时，的最大值为. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知. （1）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，且，求的取值范围. 【解析】（1），所以， 恒成立，则，解得. （2）由（I知），， 则，又，所以，于是， 故. 公众号：卷洞洞