2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（二）（解析版）.docx

公众号：卷洞洞 2020年高考金榜冲刺卷（二） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设（为虚数单位），则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则，故选C. 2．若集合，，那么=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出集合,,然后画数轴得=,故选D. 3．已知等比数列的公比为正数，且，则公比（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】，，因为，所以，故选C. 4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ） A．750 B．500 C．375 D．250 【答案】C 【解析】因为，故阴影部分的面积与梯形的面积相等， ,所以落在阴影部分的概率 ，故选C. 5．若满足，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，故，故.又，故.综上，，故选A . 6．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又依题意知的值域为，所以 得，，所以，令，得，则的图象的对称中心为.故选B. 7．已知实数满足，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出实数满足的可行域如图所示： 可求得交点坐标M(3，9)，N(-3，3)，P(3，-3)，当目标函数经过M点时，当目标函数经过N点时，当目标函数经过P点时，则由题意可得联立解得.故选B. 8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.故选B. 9．过双曲线的右焦点作双曲线的一条弦AB，且=0，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为=0，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选C. 10．已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可知函数的对称轴为x=1.因为在上是增函数,所以在上是减函数,因为,所以,又因为不等式对任意恒成立,所以,当a=0时,不等式显然成立；当时,,根据题意可得,故不满足题意；当时,,则且,所以.综上，可得实数的取值范围是. 11．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱锥 设直线 与平面所成角为 ，如图所示；则 由题意知的最大值是，∴解得 即的最小值为∴的最小值是，即点到的距离为，取的外接圆圆心为，作‖， 解得 ；为的中点， 由勾股定理得 ∴三棱锥的外接球的表面积是 故选B. 12．若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知有两个不等根.即,,有一根.另一根在方程,中,令,,所以在且上单调递增.所以即.所以 .故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为___________. 【答案】2 【解析】，公差为 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则_________. 【答案】 【解析】由等面积法可得，依题意可得，，所以.故答案为. 15．若的展开式中的系数为8，则_________． 【答案】1 【解析】的展开式中含的项为，根据题意可得，解得． 16．过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，，切点分别为，，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4 【解析】设，，则直线，的方程分别为，，联立解得，.又直线，的方程分别可表示为，，将点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即， 所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为.故答案为4. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）在中，内角的对边分别是，且满足． （1）求角； （2）设为边的中点，的面积为，求边的最小值． 【解析】（1）由正弦定理：，又， 由题，所以.因为，所以, 即,即, 因为，所以，则. （2）由，即，所以. 由,所以 当且仅当时取等,所以边的最小值为. 18．(12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图. （1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率. （2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率. ①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）； ②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围. 可能用到的参考数据：取，. 【解析】（1）估计本科上线率为. （2）①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6， 则. ②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得，. 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以，即， 解得，又，故p的取值范围为. 19．(12分）如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：在等腰梯形中，连接，交于点, , 四边形为平行四边形,, 为等边三角形,在等腰梯形中，,, , 翻折后可得：. 又平面，平面， , 平面. 平面, . （2）解：在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，因为OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O,∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为， 又因为OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE， 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为, 设平面PCE的一个法向量为，则 设，则y=-1,z=1，∴，由题意得平面PAE的一个法向量， 设二面角A-EP-C为，. 易知二面角A-EP-C为钝角，所以. 20．(12分）过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知. （1）求椭圆的离心率； （2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程. 【解析】（1）∵,设直线方程为,, 令,则,∴, ∴∵， ∴=,整理得 , ∵点在椭圆上,∴,∴∴即,∴. （2）∵可设,∴椭圆的方程为 , 由得 ,∵动直线与椭圆有且只有一个公共点P,∴,即,整理得, 设则有,, ∴ ,又,,若轴上存在一定点，使得, ∴恒成立,整理得, ∴恒成立,故,所求椭圆方程为. 21．(12分）函数. （1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）； （2）设，若，满足，求证：. 【解析】（1），则， 故在处的切线方程为即； （2）证明：由题可得，， 当时，，则；当时，，则， 所以，当时，，在上是增函数. 设， 则， 当时，，则，在上递减. 不妨设，由于在上是增函数，则， 又，，则，于是， 由，在上递减， 则，所以，则， 又，在上是增函数，所以，，即. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值． 【解析】（1）曲线的普通方程为：,曲线的普通方程为：，即,由两圆心的距离，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为，即.所以直线的极坐标方程为. （2）直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为 直线的参数方程为，带入曲线得.设两点的参数为，,所以，，所以，同号.所以. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数,. （1）当时,求的解集; （2）若的解集包含集合,求实数的取值范围. 【解析】（1）当时,, 当,即,上述不等式可化为,或,或,或或,原不等式的解集为. （2）的解集包含,当时,不等式恒成立,即在上恒成立,,即,,在上恒成立, ,,的取值范围为. 公众号：卷洞洞