2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（一）解析版.docx

公众号：卷洞洞 2020年高考金榜冲刺卷（一） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以其共轭复数是，故选C. 2．已知集合则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：.故选D. 3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，=，故选C. 4．若等差数列和等比数列满足，则（ ） A．-1 B．1 C．-4 D．4 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以，解得，因此，所以.故选B. 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( ) A．计算的值 B．计算的值 C．计算的值 D．计算的值 【答案】C 【解析】试题分析：初始值，第次进入循环体：，；当第次进入循环体时：，，，给定正整数，当时，最后一次进入循环体，则有：，，退出循环体，输出，故选C． 6．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系 设 ， 则 , 所以 ,所以最小值为，所以选B. 7．已知函数，则( ) A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【解析】根据题意有， 所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B. 8．（2019·江西南昌十中高三期中（文））已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则的大小关系为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数， ，，又，则，所以即， ，所以，故选C． 9．已知正方体的棱长为2，直线平面.平面截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形； ④截面面积最大值为．则正确的是（ ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【解析】对①,当截此正方体所得截面为时满足.故①正确. 对②,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故②错误. 对③,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故③正确. 对④,当截面为正六边形时面积最大,为.故④正确.故选D. 10．已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【解析】数列的通项公式, 当时，当或是,最大值为或 最小值为或,的最大值为 ,故选B. 11．椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且，与关于原点对称，且，则椭圆离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连结，，由与关于原点对称，且与关于原点对称，可知四边形为平行四边形，又，即可知四边形为矩形， 又，同理有，由椭圆的定义可得， .故选A. 12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】题意即为对恒成立， 即对恒成立，从而求，的最小值，而,故, 即,当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为____________. 【答案】8 【解析】由双曲线得其中一个焦点为，其中一条渐近线方程为，所以焦点到直线的距离为，所以.故答案为. 14．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】试题分析：因为函数在区间上单调递增 所以在区间恒成立， ,因为，所以在区间恒成立,所以,因为，所以,所以的取值范围是. 15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向的处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响. 【答案】 【解析】记小时后热带风暴中心到达点位置，在中，,,, 根据余弦定理得， 令，即，解得, 所以该码头将受到热带风暴影响的时间. 16．在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为____________. 【答案】 【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为 则二面角的平面角为,点在截面圆上运动，点在截面圆上运动，由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形, 设，则，. , 解得，所以,，，设 则,解得,∴,球的半径,所求外接球的表面积为. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知内接于单位圆，且， （1）求角； （2）求面积的最大值． 【解析】（1）,， ，. （2）的外接圆为单位圆，其半径，由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入数据可得，当且仅当a=b时，“=”成立,，的面积， 面积的最大值为. 18．（12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，． （1）证明平面； （2）设二面角为，求与平面所成角的大小. 【解析】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，∴，，∴，，， ∴平面. （2），，设平面的法向量为，则， 取，设平面的法向量为，则， 取，∵平面平面，∴，故， ∴，，∴， 设与平面所成角为，，则，∴， ∴与平面所成角的大小为. 19．（12分）已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点． （1）若为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设，，则①，②． ①－②，得 ． 又因为是线段的中点，所以,所以，． 又直线过，所以直线的方程为. （2）依题设，直线的方程为，即， 亦即，代入抛物线方程并化简得 ． 所以， ,于是，，． 同理，，．易知，所以直线的斜率． 故直线的方程为，即．此时直线过定点． 故直线恒过定点． 20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据： 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入亿元() 32.0 31.0 33.0 36.0 37.0 38.0 39.0 43.0 45.0 商品销售额万元（） 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 且已知 （1）求第10年的年收入； （2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程， ①求第10年的销售额； ②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01） 附：（1）在线性回归方程中，. （2），，. 【解析】（1）依题意， 则，解得. （2）①由居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程=知 ，即，即， 解之得：. ②易得，，代入得：， 解得，所以，当时， 故若该城市居民收入达到亿元，估计这种商品的销售额是万元. 21．（12分）设函数为的导函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 【解析】(1)由已知，有. 当时，有，得，则单调递减; 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 的单调递减区间为. (2)记.依题意及(1)有：， 从而.当时，，故. 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. (3)依题意，，即.记，则. 且.由及(Ⅰ)得.由(2)知，当时，，所以在上为减函数， 因此.又由(Ⅱ)知，故： . 所以. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分） 为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点. （1）写出参数方程和普通方程； （2）求最大值和最小值. 【解析】（1）由题意可得的参数方程为：（为参数）， 又∵，且，， ∴的普通方程为，即. （2）由（1）得，设，圆的圆心， 则 ，∵，∴当时，； 当时，.当时，； 当时，. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数，，. （1）解不等式； （2）任意，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）不等式即， 两边平方得，解得，所以原不等式的解集为. （2）不等式可化为， 又，所以，解得， 所以的取值范围为. 公众号：卷洞洞