圆周角定理的综合运用一巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90°所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A)A．40°B．45°C．50°D．60°图2变形1答图【解析】如图，连接OB， ∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°. OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．图3变形2答图【解析】如图，连接DO并延长， 四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC. ∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°. ∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(1∠＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．【解析】在优弧ADC上取点D，连接AD，CD， ∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30°. ∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(A)A．35°B．45°C．55°D．75°如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.解：(1)在△ABC中， ∠BAC＝∠APC＝60°，又 ∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形；(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°. OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.图6变形5答图二圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．图7解： OA⊥BC，∴AC＝AB，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，则弦AB的长为(A)图8A．9cmB．3c...
