有关切线的辅助线作法一切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.证明：连接OP. AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP.图1图2【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．如图2，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.(1)求证：AE平分∠CAB；(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值．图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE， BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又 △ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA. OA＝OE，∴∠1＝∠OEA，∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB.(2) △ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°. AE平分∠CAB，∴∠BAC＝21∠，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.图4如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．解：(1)证明：连接OT OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又 AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又 CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线．(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点又 CT⊥AC，∴OE∥CT∴四边形OTCE为矩形 CT＝，∴OE＝又 OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝＝＝1∴AD＝2AE＝2.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连接OC. OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线．图5【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由...
