与垂径定理有关的辅助线一连半径构造直角三角形(教材P83练习第1题)如图1，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．图1变形1答图解：作OE⊥AB于E，连接OA，则AE＝AB＝×8＝4(cm)，OE＝3cm，∴OA＝＝＝5(cm)．【思想方法】求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为(D)A．8B．10C．16D．20【解析】如图，连接OC，根据题意，得CE＝CD＝6，BE＝2.在Rt△OEC中，设OC＝x，则OE＝x－2，故(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.图2图3“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸．”(注：1尺＝10寸)解： AB⊥CD，∴AE＝BE. AB＝10，∴AE＝5.在Rt△AOE中， OA2＝OE2＋AE2，∴OA2＝(OA－1)2＋52，∴OA＝13，∴CD＝2OA＝26(寸)．二作弦心距巧解题(教材P90习题24.1第10题)⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，求AB和CD的距离．解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD＝10cm，∴DE＝5cm. OD＝13cm，∴利用勾股定理可得OE＝12cm.同理可求OF＝5cm，∴EF＝7cm.第二种情况：EF＝OE＋OF＝17cm.【思想方法】已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法．如图4，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．图4变形1答图解：如图，过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA， AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OAE中， OA＝17，AE＝BE＝AB＝15，∴OE＝8，同理可求OF＝15. 圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，即AB和CD的距离是7cm.如图5所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__24__cm.【解析】点P到圆心的最短距离即点O到弦AB的垂线段的长度，当点P是AB中点时，连接OA，则AB＝2AP＝2＝2＝2×12＝24(cm)．图5图6如图6，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(C)A．3B．4C．3D．4【解析】如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD.由垂径定理、勾股定理，得OM＝ON＝＝3. 弦...
