专题04轴对称问题的三种考法类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题）例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.【答案】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【详解】解：（1）由已知条件得：AC=12，OB=6，∴（2）过E作EFx⊥轴于点F，延长EA交y轴于点H, △BDE是等腰直角三角形，DE=DB,BDE=90°,∴∠∴ ∴∴EF 轴，∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴BAE∴∠＝90°（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长， ，OA=6，∴OM+ON=3【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，．（1）如图①，若点为的中点，求的长；（2）如图②，若点在轴上，且，求的度数；（3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3【详解】解：（1），,，又 点为的中点，∴；（2），，∴,是等腰直角三角形，，过点作轴于点， ,∴是等腰直角三角形， ,∴， ,∴, ,,，，，，，是等腰直角三角形，即， ,；（3）存在点，；作点O关于BF的对称点D，过点作轴于点，并与射线交于点，连接,则BF垂直平分OD，∴,,∴,当D，N，M在一条直线上时，m最小，最小值为DN的长度， ,∴,∴为AB的中点， ,∴,∴,∴．故的最小值为．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：ABBD⊥；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①见解析；②...
