2023年4月第38卷第4期内江师范学院学报JournalofNeijiangNormalUniversityApr.2023Vol.38No.4求解伪单调广义变分不等式的次梯度外梯度算法邹雨航,叶明露**(西华师范大学数学与信息学院,四川南充637009)摘要:2012年Censor等在欧氏空间里提出了一种求解伪单调变分不等式的算法.该算法在映射为Lipschitz连续且伪单调的条件下得到了全局收敛性.基于该算法,将其推广到广义变分不等式,并在集值映射F连续且伪单调的条件下,证明了算法的全局收敛性.数值实验表明了新算法的可行性.关键词:广义变分不等式;次梯度外梯度算法;线搜索;伪单调DOI:10.13603/j.cnki.51-1621/z.2023.04.005中图分类号:O224文献标志码:A文章编号:1671-1785(2023)04-0024-050引言本文在欧氏空间Rn中考虑广义变分不等式问题(GVIP):寻找一个向量x∈C和一个向量t∈Fx(),使得≥0,∀y∈C,其中C⊂Rn是一个非空闭凸集,F:Rn→2Rn为集值映射,<·,·>和·分别表示Rn的内积和范数.令S为GVIP的解集,即S=x∈C≥0,∀y∈C{}.当集值映射F退化为单值映射时,GVIP退化为经典变分不等式问题(VIP),即寻找一个向量x*∈S,使得≥0,∀y∈S,其中S⊂Rn是一个非空闭凸集,F:Rn→Rn为单值映射.变分不等式在力学、微分方程、经济学、控制论、博弈论、图像处理等诸多方面都有着十分重要的应用.因此,广大学者提出了许多数值算法来求解变分不等式问题.其中投影法因其易实施、可并行运算的特点而受到了广泛的研究.1964年,Goldstein[1]提出了一种投影方法xk+1=PCxk-λFxk()(),当步长λ∈(0,2α/L2)(L为F的Lipschitz系数,α为F的强单调系数),证明了迭代序列xk{}能收敛到VIP的解.但是该算法需要F在C上Lipschitz连续且强单调,这限制了这种算法的运用.为了削弱强单调的条件,1976年Korpelev-ich[2]提出了外梯度投影算法求解变分不等式问题:yk=PCxk-λF(xk)(),xk+1=PCxk-λF(yk)(),{当步长λ∈(0,1/L)(L为F的Lipschitz系数),且F在C单调的条件下,证明了迭代序列xk{}能收敛到VIP的解.但该算法需要向可行集C做两次投影.从而,当投影不易实施时,该算法的运算效率会受到影响.为了减少向可行集C做投影的次数,2012年Censor等[3-4]提出了次梯度外梯度投影算法:yk=PC(x-λF(xk)),Tk=w∈Rn|≤0{}xk+1=PTK(xk-λFyk()),ìîíïïïï,该算法在F伪单调且Lipschitz连续的条件下,得到了算法的全局收敛性.其中迭代点xk+1是通过向半*收稿日期:2022-06-27基金项目:国家自然科学基金面上项目(11871059...
