[收稿日期]2021-12-16;[修改日期]2022-06-24[基金项目]国家自然科学基金(12171260);浙江省杰出青年基金(LXR22A010001)[作者简介]赵丽萍(1996-),女,硕士在读,基础数学专业.E-mail:767915697@qq.com[通讯作者]陈传强(1983-),男,博士,教授,从事偏微分研究.E-mail:chenchuanqiang@nbu.edu.cn第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022一类抛物方程解的水平集的曲率估计赵丽萍,莛陈传强(宁波大学数学与统计学院,浙江宁波315211)[摘要]研究了凸环上的抛物方程ut=Δpu(p>1)的时空拟凹解的空间水平集的严格凸性,并且利用常秩定理的方法,得到了空间水平集主曲率的正下界估计.[关键词]水平集;主曲率;常秩定理;曲率估计[中图分类号]O175.26[文献标识码]A[文章编号]1672-1454(2022)06-0009-101引言考虑在凸环上建立抛物方程,如下所示ut=Δpu,(x,t)∈Ω×(0,T],u(x,0)=u0(x),x∈Ω,u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω0×(0,T),u(x,t)=1,(x,t)∈∂Ω1×(0,T],(1)其中p>1,Ω=∶Ω0\Ω1⊂ℝn(Ω0和Ω1是凸区域且Ω1⊂Ω0)是凸环,T是时空空间拟凹解的最大时间,u0∈C4(Ω)∩C2(Ω)是一个给定的拟凹函数,并且满足下列条件Δpu>0,x∈Ω,u0(x)=0,x∈∂Ω0,u0(x)=1,x∈∂Ω1.(2)如果时空水平集(x,t)∈Ω×(0,T)u(x,t)=c对于每一个常数c∈(0,1)都是凸的,那么函数u(x,t)在Ω×(0,T)被称为时空拟凹解.如果(空间)水平集x∈Ωu0(x)=c对于每一个常数c∈(0,1)都凸的,在Ω上的函数u0(x)被叫做是拟凹的.凸性是偏微分方程的一个基本的几何性质,已经得到了广泛的研究.例如,文献[1]包含一个众所周知的结果,即水平面上单连通凸域上的格林函数为凸Jordan曲线.1956年,文献[2]研究了在ℝ3中的极小环,其边界由平行平面P1,P2的两条封闭凸曲线组成,并且在论文中证明了在P1和P2的任意平行平面P都是凸Jordan曲线.1957年,文献[3]证明了三维有界凸域上格林函数的水平集是严格凸的.1977年,文献[4]将Gabriel的上述结果推广到高维p阶调和函数.文献[5]推广文献[4]结果到非线性椭圆偏微分方程.受到文献[6]结果的启发,文献[7]利用p阶调和函数凸水平集的第二基本形式的常秩定理给出了新的证明.文献[8]关于这个问题还有更多研究(见参考文献[9-12]).关于椭圆偏微分方程解的水平集的曲率估计也有大量的文献可以参考.对于具有凸水平曲线的二维调和函数和极小曲面,文献[13-15]证明水平曲线的曲率在边界处达到最小值(详细的最新结果参考文献[16]).文献[15]...
