基于Stanley序列的QC-LDPC码新颖构造方法.pdf

第 卷第 期重庆邮电大学学报(自然科学版).年 月 ().:./.基于 序列的 码新颖构造方法收稿日期:修订日期:通讯作者:袁建国 .基金项目:国家自然科学基金()重庆邮电大学大学生科研训练计划项目():()()袁建国蒯家松张帅康(重庆邮电大学 光电信息感测与传输技术重庆市重点实验室重庆)摘 要:针对准循环低密度奇偶校验()码的短环结构会严重影响码字纠错性能的问题基于 序列()提出一种围长至少为 的 码新颖构造方法 从 序列中选取某些特定元素构成一个呈递增关系的集合利用穷举算法搜索出满足无环 和环 条件的元素得到另一个递增集合构造相应的指数矩阵得到其奇偶校验矩阵 仿真结果表明在误码率()为 时所构造的 码与同码率码长的其他 码码型相比其净编码增益均有一定提升因而其纠错性能较好且无错误平层现象 此外该构造方法的计算复杂度较低关键词:准循环低密度奇偶校验码 序列围长净编码增益中图分类号:.文献标志码:文章编号:()(.):()().()().:引 言低密度奇偶校验()码作为一种逼近香农容量限、具有线性编译码复杂度的分组码在通信系统中发挥着十分重要的作用准循环()码是一类重要的结构化 码其奇偶校验矩阵()具有准循环结构 构造良好的中长码长的 码通常具有低错误平层、译码可快速收敛、纠错性能优于随机 码等优点 码凭借编译码复杂度低、编译码可并行实现的优势在移动通信、存储系统、深空通信、光通信等领域引起了广泛的关注代数、组合等数学工具已被国内外学者用来设计性能优异的 码如有限域、循环差集等 国内外研究表明通过代数或组合工具能够构造出围长至少为 的 码 在使用迭代算法进行译码时短环(尤其 环)的存在会严重影响码字的纠错性能 所以设计具有大围长的 码更具有现实意义文献提出一种利用 序列中的元素去扩展原模图基矩阵来构造 码的构造方法但是其原模图基矩阵是通过渐进边增长()算法搜索而来计算复杂度比较高且构造出来的码字码长与 序列中的元素相关构造更短码长的 码会比较困难 因此本文针对 码的短环结构会严重影响码字纠错性能的问题基于文献中提出的 序列设计了一类围长至少为 的 码且码长只与扩展系数相关能够获得更短码长的码字其构造方法简单且计算复杂度较低、易于硬件实现、纠错性能较好且无明显错误平层现象 码的构造方法.校验矩阵的构造如果一类列重为 行重为 的规则 码的零空间由奇偶校验矩阵 来表示而奇偶校验矩阵 可以用循环移位矩阵()和零矩阵()来表示 且 中的循环移位值构成了指数矩阵()用()表示为()()式中:()和 均为正整数当循环移位值 时用大小为 的 替换 中相应位置的 当循环移位值 时用大小为 的 替换 中相应位置的即可得到 码的奇偶校验矩阵 因此当 的大小确定时用 对 进行扩展得到奇偶校验矩阵 大小用 来表示为扩展系数奇偶校验矩阵表示为()()()()()()()()()()()式中()表示由单位矩阵循环移位 次得到的 其大小为 通过分析上述构造过程可以看出构造 码等同于设计其奇偶校验矩阵 而奇偶校验矩阵 是由其对应的 扩展而来因此设计对应的 是至关重要的一步.环长分析 码的译码性能通常受环长、码字分布等影响而短环的存在通常会导致译码不能完全收敛严重影响码字纠错性能 因此在构造具有良好纠错性能的 码时至少要避免其奇偶校验矩阵 图中不存在 环 研究表明 图中的环通常受指数矩阵和移位系数大小的影响如引理 所述引理 若 码的指数矩阵为()式所示则该码字存在 环的充分必要条件为()式成立 ()()()()式中:引理 指出了 码中环存在的条件因此在构造循环移位矩阵时为避免短环只需考虑搜索指数矩阵 中不满足()式的非负数值即可.有限域构造基于有限域的 码构造是一种经典代 重 庆 邮 电 大 学 学 报(自然科学版)第 卷数方法 若素域()从()中任意选择若干个数组成集合 ()和集合 ()可通过集合 和 利用()式计算对应的循环移位值 ()()()式中:为移位系数满足“”表示取模运算因此当集合 和 中的值确定后通过()式计算出循环移位值即可得到相应的指数矩阵 序列文献 已证明 序列与最大公约数()条件之间是一种等价关系因而在介绍 序列之前这里先简要介绍 条件如引理 所述引理 设、和 为 个行索引值且 如果对所有的三元组()均使()式成立则构成了一类围长至少为 的 码扩展系数 满足()()()/()()()式中()表示 和 的最大公约数文献给出了计算 序列中元素的方法如引理 所述引理 假设 序列为()为正整数符号()表示最大非负正整数 满足(能被 整除)条件则序列()中第个元素可以通过()式计算得到 ()()()式中 为正整数基于 序列的 码构造方法.构造方法本文考虑构造一类()码其具体的构造步骤如下步骤 构造集合 基于 序列的特殊性质考虑从该序列中任意选择 个元素构成集合且 步骤 构造集合 由引理 给出的环长存在充要条件()式可等价于()式 ()()()()式中:要使构造的 码奇偶校验矩阵 图中不存在 环和 环只需保证当 分别为 和时集合 和 中所有元素均满足()式不成立即可 因此可通过验证集合 和 中的值是否满足()式在 和 时不成立来设计穷举算法其搜索过程如下确定 的值 为任意正整数若直接进行搜索计算复杂度较高这里先进行预处理 进一步分析环长存在的充要条件可知当 时其计算复杂度进一步降低此时集合当 分别为 和 时把步骤得到的集合代入到()式中在依次搜索出使()式不成立的元素构成集合 为了进一步降低搜索难度考虑先在 确定一个子集如先搜索该子集中使()式不成立的元素并选出 个元素()构成集合 的前 项接着在依次搜索出使()式不成立的元素最后将满足()式不成立条件的元素全部搜索出来构成集合 且 从步骤得到的集合 中任意选择 个元素构成集合 且 步骤 构造指数矩阵 利用步骤和得到的 个集合 和 通过()式依次计算出对应的循环移位值 即可得到对应的指数矩阵 步骤 构造奇偶校验矩阵 考虑用大小为()的 替换步骤构造的指数矩阵 中对应位置的循环移位值即得到其奇偶校验矩阵 通过步骤 步骤 进一步构造出一类码长为码率为()/的规则 码.无、环证明 码奇偶校验矩阵 图中 环和 环存在类型如图 所示根据引理 给出的环长存在充要条件可知若所构造的 码的奇偶校验矩阵 图中不存在、环有()式成立第 期 袁建国等:基于 序列的 码新颖构造方法图 环和 环的结构图.()()()无 环证明图 给出了 环存在的结构若其奇偶校验矩阵对应的 图中不存在 环可将()式展开成 的特殊形式表示为()()()()因为循环移位值 是通过()式计算得到即()显然()式成立 ()()()因此当移位系数满足 时所设计 码的奇偶校验矩阵 图中不含 环)无 环证明 图 给出了 环存在的 种结构若其奇偶校验矩阵 图中不存在 环可将()式展开成 的特殊形式表示为()()()()()根据 序列的特殊性质并进一步分析本文所述的构造方法可知集合 和 中所有的元素均满足()式不成立而对应的循环移位值由公式()计算得到显然()式成立 ()()()()因此当移位系数满足 时所设计的 码的奇偶校验矩阵 图中不含 环 仿真结果与性能分析本文采用 软件进行仿真验证所构造的 码的纠错性能采用二进制相移键控()进行调制采用加性 高 斯 白 噪 声()信道译码算法选择置信传播()算法考虑到译码复杂度与纠错性能的折中在码率分别为.和.时译码迭代次数分别选取为 次和 次考虑行重 列重 构造出一类码率为.的 码 取 值为 时得到集合、当移位系数 时得到一个码长 的规则 码记为()码 当 时得到一个码长为 的 码记为()码 构造出的指数矩阵结构表示为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()当码长为 时将所构造的()码与文献基于 序列()构造的围长至少为 的规则()码、文献基于原模图()和 序列构造的围长为 的非规则()码、文献基于同构()理 论 构 造 的 规 则()码和文献基于消除无叶基本陷阱集()和原模图构造的非规则()码进行性能对比不同 码的 与信噪比()之间的性能仿真曲线如图 所示由图 可知当 为 时本文所构造的()码比()码、()码、()码和 ()码的净编码增益()分别提升了约.、.、.和.码长为 时 将所构造的()码与文献构造的规则 ()码、文献构造的规则()码和文献构造的非规则()码进行性能仿真对比不同 码的 与 之间的性能仿真曲线如图 所示 由图 可知当 为 时本文构造的()码与()码、()码和()码相比其 分 重 庆 邮 电 大 学 学 报(自然科学版)第 卷别提升了约.、.和.图 ()码与其他 种码字的性能仿真图.()图 ()码与其他 种码字的性能仿真图.()进一步分析图 可知码长为 为时所构造的 ()码和()码、()码相比其 提升不明显但()码在高 时出现了错误平层现象而()码是通过扩展原模图基矩阵构造的其原模图基矩阵是通过 算法搜索而来计算复杂度较高 同样当 为 时()码和()码、()码相比其 提 升 较 大 其 原 因 是 ()码的校验矩阵 图中有 环存在影响了码 字 纠 错 性 能 而 ()码虽然是基于消除无叶基本陷阱集构造的但在构造过程中未完全避免校验矩阵 图中 环的存在因而其纠错性能较差 进一步分析图 可知在高 区域()码和()码出现了明显错误平层现象所构造的 ()码的 与()相比提升较大且无错误平层现象为进一步说明本文所构造的 码的性能考虑行重 、列重 构造出一类码率为.的 码 取 值为 此时集合、当移位系数 时得到一个码长为 的规则 码记为()码 其指数矩阵的结构表示为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()为 不 失 一 般 性 将 所 构 造 的()码与文献构造的()码、文献基于有限域()构造的规则()码和文献 构 造 的 非 规 则 ()码进行性能仿真对比不同 码的 与 之间的性能仿真曲线如图 所示 由图 可知当 为 时本 文 构 造 的 码 长 为 的()码与()码、()码和()码相比其 分别提升了约.、.和.进一步分析图 可知码率为.为时本文构造的()码与()码和()码相比其 均有一定的提升而且()码在高信噪比区域有明显的错误平层 在高 区域()码和()码虽然第 期 袁建国等:基于 序列的 码新颖构造方法无明显错误平层但是本文构造的()码的纠错性能优于()码和()码图 ()码与其他 种码字的性能仿真图.()因此由图 图 可知本文构造的码字在长码长、短码长以及高码率情况下均具有较好的纠错性能且无错误平层现象 复杂度分析本文涉及的复杂度分析主要是校验矩阵 构造过程的计算复杂度和编码过程的计算复杂度分析 在相同码长、码率的条件下本文构造的 码与其他对比文献构造的码字均是基于生成矩阵编码的因而编码的计算复杂度相同 不同的是在构造校验矩阵 过程中涉及的方法不同因此这里只需要针对在构造 时所涉及的计算复杂度进行分析即可进一步分析本文构造方法的构造步骤可知在构造校验矩阵时通过在给定范围内搜索满足无、环条件的元素得到集合 其计算复杂度为()文献中其构造的指数矩阵由 和 两部分组成矩阵 是从 序列中选出某些特定的元素构成的是通过推导出的避免、环的 个条件计算而来其计算复杂度为()文献是利用 序列中的元素扩展原模图基矩阵构造其原模图基矩阵是通过 算法搜索而来因而其计算复杂度为()文献中先利用有限域上的 个集合求出矩阵 使用加法规则求出矩阵 的同构矩阵 再求出完全连通指数矩阵最后得到非同构码计算过程主要是对矩阵的排列和最优值的搜索因而其计算复杂度为()文献中先基于有限域获得基矩阵再通过推导出的避免 环的 个条件去计算出最优值其计算复杂度为()文献中先使用外部信息传输分析获得原模图 码的阈值再使用分层搜索算法消除校验矩阵 的子矩阵对应子图中的 其计算复杂度为()综上所述本文与其他文献的计算复杂度对比分析情况如表 所示(上述、分别表示校验矩阵的行数和列数、分别表示指数矩阵的行数和列数)表 本文与其他文献的计算