２０２３年５月重庆师范大学学报（自然科学版）Ｍａｙ２０２３第４０卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．３ＤＯＩ：１０．１１７２１／ｃｑｎｕｊ２０２３０３１４基于交互间隙法的内部混合边界条件反散射问题＊汪晓青，刘立汉，吴雪娇（重庆师范大学数学科学学院，重庆４０１３３１）摘要：【目的】内部混合边界条件反散射问题在无损探测等方面有着广泛的应用。【方法】从位于腔体内部封闭曲线上点源产生的散射波出发，基于交互间隙法，构造交互间隙泛函，根据交互间隙泛函的范数性质来确定腔体的位置和形状。【结果】证明了内部混合边界条件反问题的唯一性和交互间隙泛函是单射且稠密的。【结论】由内部点源测量数据可以唯一确定未知腔体的位置、形状和阻抗函数。关键词：交互间隙法；内部反散射问题；混合边界条件；阻抗函数中图分类号：Ｏ２２１．６文献标志码：Ａ文章编号：１６７２－６６９３（２０２３）０３－０１０６－０８声波和电磁波反散射问题在雷达、声纳、医学成像、地下成像等方面有着广泛应用，该相关理论和方法的研究取得了很大的进展，见文献［１－４］。通常，发射器和接收器都位于目标外部，使用不同的反演技术从外部测量数据中提取目标的信息［５－１１］。然而，在设备内部完整性的无损检测中，需要解决从设备内部的接收器和发射器获得的内部测量数据的反问题。目前，许多论文都考虑了具有内部测量数据的腔体反问题，如秦海华等人［１２－１３］对Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程使用线性采样方法，在Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ和Ｒｏｂｉｎ边界条件下确定不可穿透腔体的位置和形状；Ｃａｋｏｎｉ等人［１４］利用线性采样法研究了内部可穿透腔体问题；秦海华等人［１５］利用牛顿迭代法解决了带有Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件的不可穿透腔体内部反散射问题；在文献［１６－１８］中，还用了其它的方法来解决形状重构的内部反问题。上述所有工作都仅限于重建腔体的形状。本文利用内部测量数据解决不可穿透腔体的内部混合边界条件反问题，主要是根据腔体内部曲线上测量的散射数据的知识，利用交互间隙方法［１９］来确定腔体的位置和形状，在求解近场方程的基础上，得到一个积分方程来确定阻抗函数。１反散射问题本文考虑具有混合边界条件的腔体Ｄ的散射问题，假设ＤＲ２是有界单连通区域，且边界Ｄ＝珚ΓＤ∪珚ΓＩ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ...
