2023年3月伊犁师范大学学报（自然科学版）Mar.2023第17卷第1期JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）Vol.17No.1不动点子群及GLn(F)上∗的自同构类型张薇1，郭继东1，2*（1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁835000）摘要：利用群的非空子集作成子群的充要条件，得到群G的任意一个自同构下的不动点的集合构成群G的子群.作为应用，在GLn(F)上定义∗对应，计算其不动点子群.最后，利用反证法验证GLn(F)上定义的∗对应其自同构类型.关键词：子群；不动点子群；内自同构；外自同构中图分类号：O152.6文献标识码：A文章编号：2097-0552（2023）01-0018-030引言引言群G的所有自同构在映射的合成运算下构成群，称为群G的自同构群，记为AutG.群的自同构分为2类：内自同构、外自同构.由于群的自同构也是映射，本文考虑G的任意一个自同构下的不动点的集合，得出不动点的集合构成了群G的子群.作为应用，对GLn(F)上定义的∗对应，得出∗为自同构以及其不动点子群.最后，利用反证法验证了GLn(F)上定义的∗对应的自同构类型.1预备知识预备知识引理1［1］群G的一个非空子集D作成群G的一个子群的充分必要条件是：∀a,b∈D，有ab∈D，a−1∈D.引理2［2］GL2(Z2)≅S3.证明：设γ:GL2(Z2)→S3是对应，其中()1001↦(1)，()0110↦(12)，()1101↦(13)，()1011↦(23)，()1110↦(132)，()0111↦(123)，易证γ为双射且保持运算，即γ为同构，从而GL2(Z2)≅S3.引理3［2］若G1≅G2，则AutG1≅AutG2且InnG1≅InnG2.证明：设θ是G1到G2的同构映射，令ξ∈AutG1，由图交换有ξ1=θ−1ξθ∈AutG2.令σ:AutG1→AutG2，收稿日期：2022-06-10基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目（2022D01C334）；新疆维吾尔自治区高校科研计划自然科学重点项目（XJEDU2020I018）.作者简介：张薇（1998—），女，河南开封人，硕士研究生，研究方向：有限群理论.*通信作者：郭继东（1965—），男，山东菏泽人，教授，研究方向：有限群理论.张薇，郭继东：不动点子群及GLn(F)上∗的自同构类型第1期ξ↦ξ1.其中ξ1=θ−1ξθ.由θ和ξ均为双射可知，σ存在逆，故σ为双射.又因为∀λ,μ∈AutG1，有σ(λμ)=θ−1(λμ)θ=θ−1λθ·θ−1μθ=σ(λ)σ(μ)，则σ为同态，从而σ为同构，即AutG1≅AutG2.下证InnG1≅InnG2，令ψ:InnG1→InnG2,τg↦ρℎ.其中τg∈InnG1，ρℎ∈InnG2且ρℎ=ρθ(g).下证ψ为同构.∀τg1,τ...
