第32卷第1期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.12023年3月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)Mar.2023收稿日期:2022-05-02基金项目:江苏省自然科学基金(BK20171318)作者简介:王志兰(1974—),女,江苏兴化人,泰州学院数理学院讲师,主要研究方向为数学课程与教学论、初等数论。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.01.003关于不定方程(37n)x+(684n)y=(685n)z的正整数解王志兰1,2(1.泰州学院数理学院,江苏泰州225300;2.江苏省吴江中等专业学校,江苏吴江215200)摘要:运用初等方法证明了对任意的正整数n,丢番图方程(37n)x+(684n)y=(685n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。关键词:JES'MANOWICZ猜想;丢番图方程;正整数解;分解因子;同余中图分类号:O156.4文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)01-0012-040引言设a,b,c是正整数,满足a2+b2=c2且(a,b)=(b,c)=(c,a)=1。1956年,JES'MANOWICZL[1]猜测:对任意的正整数n,不定方程(an)x+(bn)y=(cn)z(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。这就是著名的JES'MANOWICZ猜想。此猜想是至今尚未解决的数论难题。目前的主要结果集中在n=1的情形,对于n>1,仅有少数情形被解决,见文献[2-12]。本文运用初等方法证明了如下定理1。定理1对任意的正整数n,丢番图方程(37n)x+(684n)y=(685n)z(2)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。1引理引理1[13]如果方程(1)有解(x,y,z)≠(2,2,2),则x,y,z互不相同。引理2[14]设正整数a,b,c满足a2+b2=c2。若z≥max{x,y},则不定方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。引理3[15]设a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2。若不定方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),则方程(1)没有满足z1且min{x,y}z>y。此时方程(2)可化为684y=nz-y(685z-37xnx-z)。(3)由于z>y,故gcd(n,684)>1。设n=2r3s19tn1,r+s+t≥0,gcd(n1,114)=1,则(3)式成为22y32y19y=2r(z-y)3s(z-y)19t(z-y)nz-y1(685z-37x2r(x-z)3s(x-z)19t(x-z)nx-z1)。(4)由(4)式可知n1=1,且有685z-37x2r(x-z)3s(x-z)19t(x-z)=22y-r(z-y)32y-s(z-y)19y-t(z-y)。(5)情形1.1若r=s=t=0,则由(5)式得37x+6...
