第43卷第2期高师理科学刊Vol.43No.22023年2月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityFeb.2023文章编号：1007-9831（2023）02-0016-04丢番图方程()!!Pxn=的正整数解王璞，余奇珂，程洋，杨鹏（辽宁科技大学理学院，辽宁鞍山114051）摘要：利用ABC猜想证明了对于次数大于1的整系数多项式()Px，仅有有限多个整数对(),xn使得多项式()Px的值为某个自然数n的双阶乘．关键词：丢番图方程；ABC猜想；双阶乘；Brocard-Ramanujan方程中图分类号：O156.1文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.02.004PositiveintegersolutionofDiophantineequation()!!Pxn=WANGPu，YUQike，CHENGYang，YANGPeng（SchoolofScience，UniversityofScienceandTechnologyLiaoning，Anshan114051，China）Abstract：UsingABCconjecture，itwasprovedthatfortheintegercoefficientspolynomial()Pxwithdegreegreaterthan1，thereareonlyfinitelymanypairsofpositiveintegers(),xnsuchthatthevalueofpolynomial()Pxisadoublefactorialofanaturalnumbern.Keywords：Diophantineequation；ABCconjecture；doublefactorials；Brocard-Ramanujanequation1引言及预备知识由Brocard[1-2]和Ramanujan[3]提出的著名的Brocard-Ramanujan丢番图方程21!xn-=至今仍未得到解决．此问题亦记录在Guy的名著《数论中未解决的问题》中．Overholt[4]将此问题与Szpiro猜想联系起来，在假设Szpiro猜想成立的前提下，证明了丢番图方程21!xn-=仅有有限解．Dabrowski[5]在假设ABC猜想成立的前提下，证明了对任意给定的非平方数0A≠，2!xAn+=仅有有限个整数解．Berndt[6]等指出在910n<范围内，方程21!xn-=仅有正整数解()()()(),5,4,11,5,71,7xn=．考虑更一般多项式-阶乘丢番图方程()!Pxn=，式中：()Px为次数大于1的整系数多项式．Erdös[7]等证明了对于奇素数d，方程1!dxn±=无非零整数解．Luca[8]利用ABC猜想推广了Overholt的结果，证明了方程()!Pxn=仅有有限个正整数解．本文参考Luca的方法，在假设ABC猜想成立的前提下证明了丢番图方程()!!Pxn=（1）仅有有限个正整数解，式中：()Px为次数大于1的整系数多项式；()()22!!231nnnnnnn■-|=■-|■·……偶奇为数为数．本文将方程（1）转化为形如ABC+=的方程，从而利用ABC猜想给出n的一个可计算的上界．收稿日期：2022-07-05基金项目：大学生创新创业训练计划项目作者简介：王璞（2002-），女，山西朔州人，在读本科生．E-mail：3512059738@qq...
