2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）.pdf

2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（）A3 B6 C8 D10 2（5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 3（5 分）下面是关于复数 z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1 Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4 4（5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D 5（5 分）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则 a1+a10=（）A7 B5 C5 D7 6（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 7（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B9 C12 D18 8（5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B，|AB|=4，则 C 的实轴长为（）A B C4 D8 9（5 分）已知 0，函数 f（x）=sin（x+）在区间，上单调递减，则实数 的取值范围是（）A B C D（0，2 10（5 分）已知函数 f（x）=，则 y=f（x）的图象大致为（）A B C D 11（5 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此三棱锥的体积为（）A B C D 12（5 分）设点 P 在曲线上，点 Q 在曲线 y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A1ln2 B C1+ln2 D 二填空题：二填空题：本大题共本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分分 13（5 分）已知向量夹角为 45，且，则=14（5 分）设 x，y 满足约束条件：；则 z=x2y 的取值范围为 15（5 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 16（5 分）数列an满足 an+1+（1）nan=2n1，则an的前 60 项和为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+asinCbc=0（1）求 A；（2）若 a=2，ABC 的面积为；求 b，c 18（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝，nN）的函数解析式（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角 A1BDC1的大小 20（12 分）设抛物线 C：x2=2py（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点；（1）若BFD=90，ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 21（12 分）已知函数 f（x）满足 f（x）=f（1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b 的最大值 四四、请考生在第请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题则按所做的第一题计分，作答时请写清题号计分，作答时请写清题号 22（10 分）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明：（1）CD=BC；（2）BCDGBD 23选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是=2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，）（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 24已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围 2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1（5 分）已知集合 A=1，2，3，4，5，B=（x，y）|xA，yA，xyA，则 B 中所含元素的个数为（）A3 B6 C8 D10 【考点】12：元素与集合关系的判断菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】由题意，根据集合 B 中的元素属性对 x，y 进行赋值得出 B 中所有元素，即可得出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5 时，y=1，2，3，4，x=4 时，y=1，2，3，x=3 时，y=1，2，x=2 时，y=1 综上知，B 中的元素个数为 10 个 故选：D【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合 B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数 2（5 分）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6 种选法；第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法 故不同的安排方案共有 261=12 种 故选：A【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题 3（5 分）下面是关于复数 z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1 Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由 z=1i，知，p3：z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，由此能求出结果【解答】解：z=1i，p3：z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，故选：C【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 4（5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+=1（ab0）的左、右焦点，P 为直线x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A B C D 【考点】K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P 为直线 x=上一点 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 5（5 分）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则 a1+a10=（）A7 B5 C5 D7 【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由 a4+a7=2，及 a5a6=a4a7=8 可求 a4，a7，进而可求公比 q，代入等比数列的通项可求 a1，a10，即可【解答】解：a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=8 a4=4，a7=2 或 a4=2，a7=4 当 a4=4，a7=2 时，a1=8，a10=1，a1+a10=7 当 a4=2，a7=4 时，q3=2，则 a10=8，a1=1 a1+a10=7 综上可得，a1+a10=7 故选：D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力 6（5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N（N2）和实数 a1，a2，an，输出 A，B，则（）AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 【考点】E7：循环结构菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1，a2，an中最大的数，B 为 a1，a2，an中最小的数 故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题 7（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B9 C12 D18 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3；底面三角形斜边长为 6，高为 3 的等腰直角三角形，此几何体的体积为 V=633=9 故选：B【点评】本题考查三视图