山东大学学报（理学版）２０２３年３月第５８卷第３期Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｘｂｌｘｂ＠ｓｄｕ．ｅｄｕ．ｃｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ），Ｖｏｌ．５８，Ｎｏ．３，２０２３ｈｔｔｐ：／／ｌｘｂｗｋ．ｎｊｏｕｒｎａｌ．ｓｄｕ．ｅｄｕ．ｃｎ©山东大学科技期刊社版权所有Ｔｅｌ：＋８６⁃５３１⁃８８３６６９１７收稿日期：２０２２⁃０４⁃１８；网络出版时间：２０２３⁃０１⁃３１１４：３２：１２网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３７．１３８９．Ｎ．２０２３０１３０．１４５９．００３．ｈｔｍｌ基金项目：国家自然科学基金资助项目（１２０６１００１）；国家自然科学青年基金资助项目（１２２０１３６１）第一作者简介：张晓磊（１９８６—），男，讲师，博士，研究方向为交换代数与同调代数．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｚｘｌｒｇｈｊ＠１６３．ｃｏｍ文章编号：１６７１⁃９３５２（２０２３）０３⁃０００１⁃０６ＤＯＩ：１０．６０４０／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１⁃９３５２．０．２０２２．２２７τｑ⁃ＰＦ环张晓磊１，齐薇１，夏伟恒２（１．山东理工大学数学与统计学院，山东淄博２５５０００；２．四川师范大学数学科学学院，四川成都６１００６６）摘要：通过局部化角度刻画了τｑ⁃ＰＦ环。其次，引入并研究了τｑ⁃Ｐ⁃平坦模并证明环Ｒ是τｑ⁃ＰＦ环当且仅当任意（主）理想是τｑ⁃Ｐ⁃平坦模。最后，从环的有限直积和合并代数角度研究了τｑ⁃ＰＦ环。此外，给出一些例子区分τｑ⁃ＰＦ环和ＰＦ环。关键词：τｑ⁃ＰＦ环；τｑ⁃Ｐ⁃平坦模；ＰＦ环；合并代数中图分类号：Ｏ１５４．２文献标志码：Ａ引用格式：张晓磊，齐薇，夏伟恒．τｑ⁃ＰＦ环［Ｊ］．山东大学学报（理学版），２０２３，５８（３）：１⁃６，１３．τｑ⁃ＰＦＲｉｎｇｓＺＨＡＮＧＸｉａｏ⁃ｌｅｉ１，ＱＩＷｅｉ１，ＸＩＡＷｅｉ⁃ｈｅｎｇ２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｉｂｏ２５５０００，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈ⁃ｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＳｉｃｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ６１００６６，Ｓｉｃｈｕａｎ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｎｏｔｉｏｎ...
