2023届江西省赣州市第三中学高三二诊模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 3．已知复数，为的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 5．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）． A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 9．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．下列命题是真命题的是（ ） A．若平面，，，满足，，则； B．命题：，，则：，； C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件； D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”. 11．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ） A． B． C． D． 12．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为__________． 14．（5分）已知，且，则的值是____________． 15．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____ 16．在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数.若点，的面积为3，则的值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值. 18．（12分）如图，在中，已知，，，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的大小为. （1）当平面平面时，求的值； （2）当时，求二面角的余弦值. 19．（12分）等比数列中，． (Ⅰ)求的通项公式； (Ⅱ)记为的前项和．若，求． 20．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标. 21．（12分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格． （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望； （2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则． 22．（10分）在三棱锥中，为棱的中点， (I)证明：； (II)求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可. 【题目详解】 ∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题. 2、C 【答案解析】 利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【题目详解】 函数， 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象； 再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为. 若，则且，均为函数的最大值， 由，解得； 其中、是三角函数最高点的横坐标， 的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C． 【答案点睛】 本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3、C 【答案解析】 求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【题目详解】 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 4、A 【答案解析】 由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积． 【题目详解】 由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体， 设是的中心，则平面，，， 外接球球心必在高上，设外接球半径为，即， ∴，解得， 球体积为． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体． 5、D 【答案解析】 连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案. 【题目详解】 连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则，， 在等腰中，取的中点为，连接， 则，， 所以， 即：， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 6、A 【答案解析】 作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【题目详解】 根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，， 平面，且， ∴，，，， ∴这个四棱锥中最长棱的长度是． 故选． 【答案点睛】 本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 7、B 【答案解析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【题目详解】 如图所示： 确定一个平面， 因为平面平面， 所以，同理， 所以四边形是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为， 所以， 即 所以 由余弦定理得： 所以 所以四边形 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 8、C 【答案解析】 根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【题目详解】 解：是奇函数，是偶函数， ，， ，故函数是奇函数，故错误， 为偶函数，故错误， 是奇函数，故正确． 为偶函数，故错误， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 9、B 【答案解析】 对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【题目详解】 当时，函数在上单调递减， 所以，的递增区间是， 所以，即. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 10、D 【答案解析】 根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D. 【题目详解】 若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误； 命题“：，”的否定为：，，故B错误； 为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误； 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确； 故选D 【答案点睛】 本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题. 11、B 【答案解析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【题目详解】 令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 12、D 【答案解析】 根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解. 【题目详解】 如图， 因为为等腰三角形，， 所以，, ， 又， ， 解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可. 【题目详解】 解: , 又因为定义在上的奇函数, 则, 则,又因为, 所以,, 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题. 14、 【答案解析】 由于，且，则，得，则． 15、5. 【答案解析】 由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【题目详解】 由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设, 当直线经过点时,取最大值5. 故答案为：5 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 16、 【答案解析】 对求导，再根据点的坐标可得切线方程，令，可得点横坐标，由的面积为3，求解即得. 【题目详解】 由题，，切线斜率，则切线方程为，令，解得，又的面积为3，，解得. 故答案为： 【答案点睛