大题专项练(五)函数与导数A组基础通关1.(2023安徽定远中学高三质检)已知函数f(x)=(x2-2x+2)ex-12ax2(a∈R).(1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:当a≤-2时,f(x)≥2.(1)解当a=e时,f(x)=(x2-2x+2)ex-12ex2,所以f'(x)=x2ex-ex=x(xex-e),讨论:①当x<0时,xex-e<0,有f'(x)>0;②当01时,由函数y=xex为增函数,有xex-e>0,有f'(x)>0.综上,函数f(x)的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).(2)证明当a≤-2时,有-12a≥1,所以-12ax2≥x2,所以f(x)≥(x2-2x+2)ex+x2.令g(x)=(x2-2x+2)ex+x2,则g'(x)=x2ex+2x=x(xex+2).令h(x)=xex+2,有h'(x)=(x+1)ex.令h'(x)=0,得x=-1.分析知,函数h(x)的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).所以h(x)min=h(-1)=2-1e>0.1所以分析知,函数g(...
