2023学年福建省长汀、连城一中等六校高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） A． B． C． D． 2．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D． 3．已知复数满足，则（ ） A． B．2 C．4 D．3 4．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　） A．2 B． C．3 D．4 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A． B．6 C． D． 7．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 9．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 A． B． C． D． 10．已知，则，不可能满足的关系是（） A． B． C． D． 11．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．三棱柱中， ，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____． 14．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________． 15．如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点．求证： 16．已知正项等比数列中，，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 18．（12分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明. 19．（12分）如图，在平面四边形中，，，. （1）求； （2）求四边形面积的最大值. 20．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率； （2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望. 21．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，. （1）求证：； （2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内） （1）记四边形的周长为,求的表达式; （2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的. 考点：三视图 2、A 【答案解析】 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可. 【题目详解】 过作与准线垂直，垂足为，， 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切， 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为， 则.则， 则直线的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 3、A 【答案解析】 由复数除法求出，再由模的定义计算出模． 【题目详解】 ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4、B 【答案解析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【题目详解】 如图所示： 确定一个平面， 因为平面平面， 所以，同理， 所以四边形是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为， 所以， 即 所以 由余弦定理得： 所以 所以四边形 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 5、C 【答案解析】 根据等差数列的求和公式即可得出． 【题目详解】 ∵a1=12，S5=90， ∴5×12+ d=90， 解得d=1． 故选C． 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6、D 【答案解析】 用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得. 【题目详解】 执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为. 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易. 7、B 【答案解析】 因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 ， 又和的图象都关于对称， 由， 得，， 即， 又， . 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 9、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【题目详解】 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1， 过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 10、C 【答案解析】 根据即可得出，，根据，，即可判断出结果． 【题目详解】 ∵； ∴，； ∴，，故正确； ，故C错误； ∵ ，故D正确 故C． 【答案点睛】 本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题 11、D 【答案解析】 先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【题目详解】 因为，故， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增； 当时，令，解得， 故在区间单调递减，在区间上单调递增. 又，且当趋近于零时，趋近于正无穷； 对函数，当时，； 根据题意，对，且，使得成立， 只需， 即可得， 解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 12、B 【答案解析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【题目详解】 解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下： 可知点,， 在处有最小值，最小值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心， 设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值 【题目详解】 如下图， ∵三棱柱为正三棱柱 ∴设， ∴三棱柱的侧面积为 ∴ 又外接球半径 ∴外接球表面积. 故答案为： 【答案点睛】 考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题 14、 【答案解析】 由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可． 【题目详解】 解：因为是偶函数，所以时恒有，即， 所以， 所以，解得，，； 所以； 由，即，解得； 故，． 由，即，解得． 故，． 因为，所以，即，解得， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题． 15、证明见解析． 【答案解析】 试题分析：四点共圆，所以，又△∽△，所以，即，得证． 试题解析： A．连接，因为为圆的直径，所以， 又，则四点共圆， 所以．　 又△∽△， 所以，即， ∴． 16、 【答案解析】 利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【题目详解】 由， 所以，解得. ，所以， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解