2023学年福建省泉州第一中学高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量服从正态分布，，（ ） A． B． C． D． 2．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A．400米 B．480米 C．520米 D．600米 3．为虚数单位,则的虚部为（ ） A． B． C． D． 4．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( ) A． B． C． D． 5．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．已知向量满足,且与的夹角为,则( ) A． B． C． D． 8．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 9．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知集合，则全集则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 11．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ） A． B． C． D． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 14．在三棱锥P-ABC中，，，，三个侧面与底面所成的角均为，三棱锥的内切球的表面积为_________. 15．在中，已知是的中点，且，点满足，则的取值范围是_______. 16．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=. （1）求证：平面⊥平面； （2）求二面角的余弦值. 18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值. 19．（12分）已知. （1）求不等式的解集； （2）记的最小值为，且正实数满足.证明：. 20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 21．（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为． （1）求矩阵； （2）求矩阵的特征值． 22．（10分）已知等差数列中，，数列的前项和. （1）求； （2）若，求的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果. 【题目详解】 ，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 2、B 【答案解析】 根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【题目详解】 设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示： 由题意可得，解得； 且满足， 故解得塔高米，即塔高约为480米. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题. 3、C 【答案解析】 利用复数的运算法则计算即可. 【题目详解】 ，故虚部为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题. 4、B 【答案解析】 根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【题目详解】 由（）★★ ，得（+2）★★， 又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018， 又◆◆，◆， 所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020， 所以（◆2020）（2020★2018）， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 5、A 【答案解析】 由题意, 根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由 得：， 因为到直线的距离小于，所以 ， 即，所以双曲线渐近线斜率，故选A． 6、B 【答案解析】 因为,所以,所以或. 若，则,满足. 若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B. 7、A 【答案解析】 根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【题目详解】 . 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查数量积的运算，属于基础题. 8、D 【答案解析】 求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可. 【题目详解】 设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2， 则 =2，化简得. ∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1， ∴ ，解得， ∴椭圆的离心率为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 9、C 【答案解析】 由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论. 【题目详解】 解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解， 即有解，令，则， 则当时，；当时，， 故时，取得极大值，也即为最大值， 当趋近于时，趋近于，所以满足条件． 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题． 10、D 【答案解析】 化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【题目详解】 由， 则，故， 由知，，因此， ，， ， 故选:D 【答案点睛】 本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 11、B 【答案解析】 计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果. 【题目详解】 由题意可知，样本在的数据个数为， 样本在的数据个数为， 因此，样本在、内的数据个数为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD ，，再求得其它的棱长比较下结论. 【题目详解】 如图所示： 由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC 平面ABC，， 过S作，连接BD，则 ， 所以 ， ，，， 该几何体中的最长棱长为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、7.5 【答案解析】 分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【题目详解】 故答案为：7.5 【答案点睛】 此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错. 14、 【答案解析】 先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱锥的体积的三倍即可解决. 【题目详解】 设顶点在底面上的射影为H，H是三角形ABC的内心，内切圆半径.三个侧面与底面所 成的角均为，，，的高，，设内 切球的半径为R， ∴，内切球表面积. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题. 15、 【答案解析】 由中点公式的向量形式可得，即有， 设，有，再分别讨论三点共线和不共线时的情况，找到的关系，即可根据函数知识求出范围． 【题目详解】 是的中点，∴，即 设，于是 (1)当共线时，因为， ①若点在之间，则，此时，； ②若点在的延长线上，则，此时，． (2)当不共线时，根据余弦定理可得， 解得，由，解得 ． 综上， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题． 16、 【答案解析】 根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【题目详解】 解：函数,且 画出的图象如下： 因为,且存在唯一的整数使得, 故与在时无交点, ,得； 又,过定点 又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以 , 存在唯一的整数使得 所以 .根据图像可知,当时, 恒成立. 综上所述, 存在唯一的整数使得,此时 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2） 【答案解析】 （1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面； （2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间