2023学年辽宁省朝阳市建平县第二高级中学高考仿真卷数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为 A． B． C． D． 2．已知数列中，，()，则等于（ ） A． B． C． D．2 3．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点 C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点 4．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是 A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0) 5．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ） A．依次成等差数列 B．依次成等差数列 C．依次成等差数列 D．依次成等差数列 8．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ） A．5 B．3 C． D．2 10．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 11．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A． B． C． D． 12．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数的图象在处的切线方程为__________． 14．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________． 15．关于函数有下列四个命题： ①函数在上是增函数； ②函数的图象关于中心对称； ③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线； ④函数的导函数不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设， （1）求的单调区间； （2）设恒成立，求实数的取值范围. 18．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足. （1）求； （2）若，，求的最大值. 19．（12分）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点. （Ⅰ）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （Ⅱ）求二面角的余弦值. 20．（12分）已知函数，. （1）求函数的极值； （2）当时，求证：. 21．（12分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围． 22．（10分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状； (2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【题目详解】 画出所表示的区域，易知， 所以的面积为， 满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为， 由几何概型的公式可得其概率为， 故选A项. 【答案点睛】 本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题. 2、A 【答案解析】 分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【题目详解】 解：∵，()， ， ， ， ， …， ∴数列是以3为周期的周期数列， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 3、A 【答案解析】 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上. 【题目详解】 ,， , 又，, 平面,又平面 ， 故在以为直径的圆上， 又是内异于的动点， 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 4、C 【答案解析】 求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解. 【题目详解】 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示． 令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3， 则结合图象可知，解得a∈[－3，0)， 故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 5、D 【答案解析】 由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【题目详解】 函数的图象上两点，关于直线的对称点在上， 即曲线与有两个公共点， 即方程有两解， 即有两解， 令， 则， 则当时，；当时，， 故时取得极大值，也即为最大值， 当时，；当时，， 所以满足条件． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 6、A 【答案解析】 由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决. 【题目详解】 由已知可得，，所以，从而双曲线方程为 ，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时， 此时，所以， ，所以； 当轴时，，所以，又为锐角三 角形，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题. 7、C 【答案解析】 由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果. 【题目详解】 依次成等差数列，， 正弦定理得， 由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 8、C 【答案解析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象， 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由，得， 函数在区间上单调递增，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题. 9、D 【答案解析】 由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离. 【题目详解】 解：由抛物线方程可知，，即，.设 则，即，所以. 所以线段的中点到轴的距离为. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和. 10、C 【答案解析】 化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由 得可判断④. 【题目详解】 由题意，，所以，故①正确； 为偶函数，故②错误；当 时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有 成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为 ，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 11、D 【答案解析】 设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可. 【题目详解】 设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得， 所以圆锥的体积. 故选：D 【答案点睛】 本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 12、A 【答案解析】 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【题目详解】 在中，，，，由余弦定理，得， 所以. 所以所求概率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可. 【题目详解】 ,则切线的斜率为. 又,所以函数的图象在处的切线方程为,即. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可. 【题目详解】 解：函数是定义在上的奇函数， . 由周期为，可知，，. . 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查函数的基本性质，属于基础题. 15、①②③ 【答案解析】 由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【题目详解】 函数的定义域是， 由于， 在上递增，∴函数在上是递增，①正确； ，∴函数的图象关于中心对称，②正确； ，时取等号，∴③正确； ，设，则，显然是即的极小值点，④错误． 故答案为：①②③. 【答案点睛】 本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题． 16、 【答案解析】 令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，．可知，又，故．三角形周长与三角形内