2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县二中高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．不是函数的最小值 D．对于，都有 5．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( ) A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1 C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 6．已知满足，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（ ） A． B． C． D． 8．已知下列命题： ①“”的否定是“”； ②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题； ③“”是“”的充分不必要条件； ④“若，则且”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 9．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列中，，()，则等于（ ） A． B． C． D．2 11．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ） A． B．3 C． D．1 12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________. 14．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____． 15．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______. 16．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值. 18．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，. （1）求的值； （2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴. 19．（12分）设函数． （1）当时，解不等式； （2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围． 20．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线． 21．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311的为“长纤维”，其余为“短纤维”） 纤维长度 甲地（根数） 3 4 4 5 4 乙地（根数） 1 1 2 11 6 （1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”. 甲地 乙地 总计 长纤维 短纤维 总计 附：（1）； （2）临界值表； 1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.111 2.716 3.841 5.124 6.635 7.879 11.828 （2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望. 22．（10分）如图，平面分别是上的动点，且. （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得． 【题目详解】 令，则，，，， ，因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 2、A 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可． 【题目详解】 作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 3、D 【答案解析】 根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项. 【题目详解】 因为是定义在上的增函数，故. 又有意义，故，故，所以. 令，则， 故在上为增函数，所以即， 整理得到. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题. 4、B 【答案解析】 根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【题目详解】 由得关于对称， 若关于对称，则函数在上不可能是单调的， 故错误的可能是或者是， 若错误， 则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件． 故错误的是， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键． 5、D 【答案解析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【题目详解】 回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误； 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误； 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6、A 【答案解析】 利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【题目详解】 ，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 7、B 【答案解析】 由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件 件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值． 【题目详解】 画出，满足的为常数）可行域如下图： 由于目标函数的最大值为9， 可得直线与直线的交点， 使目标函数取得最大值， 将，代入得：． 故选：． 【答案点睛】 如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值． 8、B 【答案解析】 由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【题目详解】 “”的否定是“”，正确； 已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确； “”是“”的必要不充分条件,错误； “若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 9、B 【答案解析】 根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，， ， 则，，取， ，则， ，，可得， 当时，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 10、A 【答案解析】 分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【题目详解】 解：∵，()， ， ， ， ， …， ∴数列是以3为周期的周期数列， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出. 【题目详解】 由圆：配方为， ，半径. ∵过点的直线与圆：相切于点， ∴； ∴； 故选：B. 【答案点睛】 本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题. 12、C 【答案解析】 如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C． 考点：外接球表面积和椎体的体积． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决. 【题目详解】 作出可行域，如图 令，则，显然当直线经过时，最大，且， 故的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题. 14、 【答案解析】 计算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根据三角函数的有界性计算范围得到答案. 【题目详解】 由（）•（）＝0 可得 （）•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1，α为与的夹角． 再由 2•1+4+2×1×2cos7 可得||， ∴||cosα﹣1，解得cosα． ∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得 ||， 故答案为． 【答案点睛】 本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键. 15、 【答案解析】 记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次