2023年高中数学竞赛标准讲义第七章解三角形doc高中数学.docxVIP免费

2023高中数学竞赛标准讲义：第七章：解三角形一、根底知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，为半周长。1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，那么a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，那么AD2=（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos①同理b2=AD2+q2-2AD·qcos，②因为ADB+ADC=，2cbapCcBbAasinsinsin.sin21sin21sin21BcaAbcCab)sin(sinabaaCabsin21BbAasinsin)sin()sin(sinsinAaAa2121bcacbA2cos222.22pqqpqcpbADB.ADBADC所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=注：在（1）式中，假设p=q，那么为中线长公式（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S△ABC=二、方法与例题1．面积法。例1（共线关系的张角公式）如下列图，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u,w,v，这里α，β，α+β∈(0,)，那么P，Q，R的共线的充要条件是【证明】P，Q，R共线(α+β)=uwsinα+vwsinβ，得证。2．正弦定理的应用。例2如下列图，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，那么P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。.22pqqpqcpb.222222acbAD412ABCS41411614)(1222222...