第一章行列式习题1.11.证明：（1）首先证明是数域。因为，所以中至少含有两个复数。任给两个复数，我们有。因为是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以。如果，则必有不同时为零，从而。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以。综上所述，我们有是数域。（2）类似可证明是数域，这儿是一个素数。（3）下面证明：若为互异素数，则。（反证法）如果，则，从而有。由于上式左端是有理数，而是无理数，所以必有。所以有或。如果，则，这与是互异素数矛盾。如果，则有，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有。同样可得。（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在和之间存在无穷多个不同的数域。2.解：（1）是数域，证明略（与上面类似）。（2）就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而复数域。（3）不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如。3.证明：（1）因为都是数域，所以，从而。故含有两个以上的复数。任给三个数，则有且。因为是数域，所以有且。所以。所以是数域。（2）一般不是数域。例如，我们有，但是。习题1.22.解：项的符号为习题1.31．证明：根据行列式的定义==0。所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列，故可以得到全体阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。2．解(1)=；（2）；（3）；（4）=。（5）。3．解：（1）。（2）左端==右端。（3）。（4）原式（先依次）=。。。=。（5）原式（先依次）=。。。=。4．解：设展开后的正项个数为。则由行列式的定义有。又因为（利用）（下三角行列式）。所以有。5．证明：（1）左端=右端。（2）利用性质5展开。6．解：（3）与上面3（3）类似可得。7．解：利用行列式的初等变换及性质5。8．解：。9．证明：设原行列式=D。则对D进行依次如下变换后所得的行列式D′第一列由题设中所给的5个数字构成。从而由行列式的定义可知D′可被23整除。又由行列式的性质知D′。因为23是素数，且不可能被23整除，所以D可以被23整除。习题1.41．解：(1)=；(2)=；(3)方法一+=；方法二逐次均按第2行展开可得同样结果,具体解法可参见下例。(4)逐次按第2行展开===；(5)==；(6)==；（7）换行后可得到范德蒙行列式；（8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。2．解：(1)+=；(2)=1+；（此处有笔误）(...
