[收稿日期]2021-12-15;[修改日期]2022-06-25[基金项目]国家自然科学基金(11971108);福建师范大学2020年校本科教改项目(I202002032)[作者简介]江樵芬(1981-),女,博士,副教授,从事泛函分析研究.E-mail:bj001_ren@163.com第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022混合偏导数相等的若干充分条件的注记江樵芬1,阮颖彬1,徐起2(1.福建师范大学数学与统计学院,福州350117;2.厦门大学数学科学学院,福建厦门361005)[摘要]对混合偏导数相等的若干充分条件及其证明提出质疑,深入分析其证明的错误之处,并给出反例说明一些充分条件不成立.[关键词]混合偏导数;Clairaut定理;中值定理[中图分类号]O172[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0068-071引言二元函数的二阶混合偏导数fxy与fyx在一定条件下会相等,其中fxy=∂∂y∂f∂x,fyx=∂∂x∂f∂y.一般教科书中常见的混合偏导数相等的充分条件有如下三个:定理1(Clairaut定理、Schwarz定理)设fx,fy,fxy和fyx在点(x0,y0)的某邻域内存在,fxy和fyx在点(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).定理2(Peano的结果)设fx,fy和fyx在点(x0,y0)的某邻域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).定理3(Young的结果)设fx,fy在点(x0,y0)的某个邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0).文献[1-4]尝试减弱以上定理的条件,以期给出适用范围更广的混合偏导数相等的充分条件.本文对文献[1-4]给出的若干充分条件及其证明的正确性提出质疑,深入分析其证明的错误之处,并给出反例说明有些充分条件不成立.本文将从分析Clairaut定理、Peano的结果、Young的结果的证明思路出发,深入思考文献[1-5]中一些证明的错误原因,尝试去理清其证明的逻辑,发现问题所在,并给出教学上的建议.2二阶混合偏导数相等的本质及证明思路分析注意到fxy(x0,y0)=limΔy→0limΔx→0fx0+Δx,y0+Δy-fx0,y0+Δy-fx0+Δx,y0+f(x0,y0)ΔxΔy,fyx(x0,y0)=limΔx→0limΔy→0fx0+Δx,y0+Δy-fx0+Δx,y0-fx0,y0+Δy+f(x0,y0)ΔxΔy.若记F(Δx,Δy)=fx0+Δx,y0+Δy-fx0,y0+Δy-fx0+Δx,y0+f(x0,y0),则二阶混合偏导数相等本质上是函数F(Δx,Δy)ΔxΔy的两个不同顺序的累次极限相等.在证明中一般对函数F(Δx,Δy)作如下处理.若fxy在(x0,y0)的某邻域内存在,令φ(x)=fx,y0+Δy-fx,y0,则F(Δx,Δy)=φx0+Δx-φx0=φ'x0+θ1ΔxΔx=fxx0+θ1Δx,y0+Δy-fxx0+θ1Δx,y0Δx=fxyx0+θ1Δx,y0+θ2ΔyΔxΔy0...
