2023年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准〔A卷〕说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕1．函数在上的最小值是〔C〕A．0B．1C．2D．3[解]当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．2．设，，假设，那么实数的取值范围为〔D〕A．B．C．D．[解]因有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，那么比赛停止时已打局数的期望为〔B〕A.B.C.D.[解法一]依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，那么该轮结束时比赛停止的概率为．假设该轮结束时比赛还将继续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，故．[解法二]依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，那么表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得，，，故．4．假设三个棱长均为整数〔单位：cm〕的正方体的外表积之和为564cm2，那么这三个正方体的体积之和为〔A〕A.764cm3或586cm3B.764cm3C.586cm3或564cm3D.586cm3[解]设这三个正方体的棱长分别为，那么有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．假设，那么，易知，，得一组解．假设，那么，．但，，从而或5．假设，那么无解，假设，那么无解．此时无解．假设，那么，有唯一解，．假设，那么，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．5．方程组的有理数解的个数为〔B〕A.1B.2C.3D.4[解]假设，那么解得或假设，那么由得．①由得．②将②代入得．③由①得，代入③化简得.易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或的取值范围是A.B.C.D.[解]设的公比为，那么，而．因此，只需求的取值范围．因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是．二、填空题〔此题...
