2022考研数学满分过关15012022考研数学满分过关150高数下【例1】求下列微分方程的通解：（1）（北京市1995年竞赛题）sin()sin()yxyxy′+−=+；（2）2(1)(arctan)0ydxxydy++−=；（3）2(21)yxy′=+−；（4）2222sinxyyxyex−′+=.【详解】（1）由sincoscossinsincoscossinyxyxyxyxy′+−=+，得2cossinyxy′=，2cossindyxdxy=∫∫，lncsccot2sinlnyyxC−=+，故方程的通解为2sincsccotxyyCe−=，其中C为任意常数.（2）由221arctan11dxyxdyyy+=++，得方程的通解为()2211arctanarctan1122arctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctan11arctan(arctan)arctan1dydyyyyyyyyyyyyyxeedyCeedyCyyeydeCeyeeCyCe−−++−−−∫∫=+=+++=+=−+=−+∫∫∫其中C为任意常数.（3）令21uxy=+−，则222dudyudxdx=+=+，得22dudxu=+∫∫，1arctan22uxC=+，121arctan22xyxC+−=+，故方程的通解为2tan2()21yxCx=+−+，其中C为任意常数.（4）令2zy=，则22sinxzxzex−′+=，得2222sin(cos)xdxxdxxxzeeexdxCexC−−−∫∫=+=−+∫故方程的通解为22(cos)xyexC−=−+，其中C为任意常数.2022考研数学满分过关1502【例2】求微分方程{}2min,1xyyye′′′+−=的通解.【详解】当0x<时，2xyyye′′′+−=，齐次方程的特征方程为22(2)(1)0rrrr+−=+−=，特征根为12r=−，21r=，故齐次方程的通解为212xxyCeCe−=+.设非齐次方程的特解为1xyAxe∗=，代入方程，得13A=，故非齐次方程的通解为21213xxxyCeCexe−=++.当0x≥时，21yyy′′′+−=，设非齐次方程的特解为2yB∗=，代入方程，得12B=−，故非齐次方程的通解为23412xxyCeCe−=+−.由原方程的通解在0x=处可导，得12341234121223CCCCCCCC+=+−−++=−+解得314211849CCCC=+=+，故原方程的通解为2122121,03141,01892xxxxxCeCexexyCeCex−−++<=+++−≥其中12,CC为任意常数.【例3】（莫斯科1975年竞赛题）求()fx满足()()()1()()fxfyfxyfxfy++=−，且(0)1f′=，求()fx.【详解】令0xy==，则(0)(0)(0)1(0)(0)fffff+=−，得(0)0f=.由2022考研数学满分过关1503002220()()()()()1()()()limlim()1()lim(0)1()1()1()()xxxfxfxfxfxxfxfxfxfxxxfxfxffxfxxfxfx∆→∆→∆→+∆−+∆−−∆′==∆∆∆+′==+=+∆−∆得2()1()dfxdxfx=+∫∫，故arctan()fxxC=+.由(0)0f=，得0C=，故()tanfxx=.【例4】设曲线()yyx=位于第一象限过...
