2022考研数学满分过关15012022考研数学满分过关150高数下【例1】求下列微分方程的通解：（1）（北京市1995年竞赛题）sin()sin()yxyxy′+−=+；（2）2(1)(arctan)0ydxxydy++−=；（3）2(21)yxy′=+−；（4）2222sinxyyxyex−′+=.2022考研数学满分过关1502【例2】求微分方程{}2min,1xyyye′′′+−=的通解.【例3】（莫斯科1975年竞赛题）求()fx满足()()()1()()fxfyfxyfxfy++=−，且(0)1f′=，求()fx.【详解】2022考研数学满分过关1503【例4】设曲线()yyx=位于第一象限过点(1,3)，在点(,)Pxy处的切线与x正半轴的交点为A，且4OPAπ∠=，求曲线方程.【详解】【例5】设连续函数)(xf满足00()()xxxftdttftxdt=+−∫∫，求()fx.【详解】2022考研数学满分过关1504【例6】设()fx为[)0,+∞上的非负连续函数，曲线0()xyfudu=∫、x轴、(0)xtt=>所围区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积与曲线()yfx=、x轴、0x=、(0)xtt=>所围区域的面积之和为2t，求()fx.【详解】【例7】（北京市1990年竞赛题）设22(ln)zfxy=+满足32222222()zzxyxy∂∂+=+∂∂，其中()fx二阶可导，且100()lim1xfxtdtx→=−∫，求()fx.【详解】2022考研数学满分过关1505【例8】（1）（江苏省2000年竞赛题）设连续函数()fx满足22222224()2()()xytftxyfxydxdyt+≤=+++∫∫，求()fx；（2）（数一）（江苏省1994年竞赛题）设连续函数()fx满足22222223()()xyztftfxyzdVt++≤=+++∫∫∫，求()fx.【详解】（1）【例9】求下列重极限：（1）2200lim(0,0)xyxyxyαβαβ→→≥≥+；（2）222200()limxyxyxyxy→→−+；（3）22302220lim()xyxyxy→→+；2022考研数学满分过关1506（4）22456800sintanlimxyxyxyxy→→+.【详解】【例10】（全国大学生2017年竞赛题）设(,)fxy可微，满足(,)(,)xfxyfxy′=，cot10,lim(0,)nynfynefy→∞+=，且0,12fπ=，求(,)fxy.【详解】2022考研数学满分过关1507【例11】（江苏省1998年竞赛题）设(,)fxy有二阶连续偏导数，满足(,)(,)xxyyfxyfxy′′′′=，2(,2)fxxx=，(,2)xfxxx′=，求(,2)xxfxx′′与(,2)xyfxx′′.【详解】【例12】（北京市1993年竞赛题）求2221()()221(,)(0,0)xaybyfxyeyby−−+−=≠>的最大值.【详解】2022考研数学满分过关1508【例13】设),1(),(22yxxyfyxg++=，其中),(yxf有二阶连续偏导数，且0)1(1),(lim2201=+−−++→→yxyxyxfyx，证明),(yxg在)0,0(处取得极值，并判断是极大值还是极小值.【详解】...
