2022考研数学满分过关1501第二章一元函数微分学重点题型一导数与微分的概念【例2.1】（中国人民大学2001）设12(1)1()arcsin1xxxxfxex−+−=++，则(1)f′=.【详解】【例2.2】设231,0()1ln(1)2,02xexxfxxxxx−−≤=−++>.若()(0)nf存在，则n的最大值为.【详解】【例2.3】（江苏省1996年竞赛题）设()1350121lim1coscoscos,01()lim11,0!(),0nnnxnxxxnnnnfxxxdxxnfxx→∞→∞−++++>=+++=−<∫（I）讨论()fx在0x=处的可导性；（II）求()fx在[],ππ−上的最大值.2022考研数学满分过关1502【详解】（I）当0x>时，11001111sin()limcoscossinnniixfxxxtdtxtnnxx→∞=−=⋅===∑∫或01111sin()limcoscosnxniixxfxxtdtxnnxx→∞=−=⋅==∑∫令13501xxdxa++=∫，则lim0!nnan→∞=，得(0)1f=.当0x<时，sin()()xfxfxx=−=故sin,0()1,0xxfxxx>==.3220000sin1()(0)sin6(0)limlimlimlim0xxxxxxfxfxxxfxxxx→→→→−−−−′=====（II）由于()fx为偶函数，只需讨论()fx在[]0,π上的最大值.2cossin()xxxfxx−′=，令[]()cossin,0,gxxxxxπ=−∈，则()sin0gxxx′=−<，()gx单调递减，从而()(0)0gxg<=，()0fx′<，()fx单调递减，故(0)1f=为最大值.【例2.4】（1）（江苏省1994年竞赛题）设)(xf在0x=处可导，且(0)0f=，求极限22212limnnfffnnn→∞+++；（2）设)(xf在0xx=处可导，{}{},nnαβ为趋于零的正项数列，求极限00()()limnnnnnfxfxαβαβ→∞+−−+.【详解】（1）由题设得221(0)(1,2,,)iiffoinnnn′=+=，故222222212121limlim(0)(1)12(0)lim(0)2nnnnnffffnonnnnnnnnnffn→∞→∞→∞′+++=++++⋅+′′==2022考研数学满分过关1503（2）由)(xf在0xx=处可导，得000()()()()fxxfxfxxox′+∆=+∆+∆，从而000()()()()nnnfxfxfxoααα′+=++，000()()()()nnnfxfxfxoβββ′−=−+故000()()()()()nnnnnnnnfxfxoofxαβαβαβαβ+−−−′=+++又()()()()()()00()nnnnnnnnnnnnnnoooooonαβαβαβαβαβαβαβ−≤≤+≤+→→∞+++由夹逼准则得()()lim0nnnnnooαβαβ→∞−=+，故000()()lim()nnnnnfxfxfxαβαβ→∞+−−′=+【例2.5】（1）设()fx在(0,)+∞内有定义，且(1)1f′=.若对任意,(0,)xy∈+∞，有()()()...
