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1988数学三真题答案解析(试卷四).pdf
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1988 数学 三真题 答案 解析 试卷
一、填空题(本题满分一、填空题(本题满分 12 分,每空分,每空 1 分)分)(一一)已知函数xdtf xext(),0212.(1)()fx221te.(2)()f x的单调性:单调增加 .(3)()f x的奇偶性:奇函数 .(4)()f x图形的拐点:(0,0)(5)()f x图形的凹凸性:0 x 时上凹(下凸),0 x 时下凹(上凸).(6)()f x图形的水平渐近线近线:,22yy(二二)01111011110111103.(三三)110000100001000011000010000100001.(四)假设()0.4()0.7P AP AB,那么(1)若 A 与 B 互不相容,则 P(B)=0.3.(2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B)=0.5.二、(本题满分二、(本题满分 10 分)(每小题,回答正确得分)(每小题,回答正确得 2 分,回答错误得分,回答错误得-1 分,不回答得分,不回答得 0 分;全题最低得分;全题最低得 0 分)分)(1)若极限l()im0f xxx与l()im0f xxx()g x都存在,则极限()lim0g xxx必存在.()(2)若0 x是函数()f x的极值点,则必有()00 f x.()(3)等式 aadxf axdxf x00()(),对任何实数a都成立.()(4)若 A 和 B 都是n阶非零方阵,且 AB=0,则 A 的秩必小于n.()1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数 学(试卷四)数学试题参考解答及评分标准数 学(试卷四)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(5)若事件 A,B,C 满足等式,ACBC 则 A=B.()三、(本题满分三、(本题满分 16 分,每小题分,每小题 4 分分.)(1)求极限11limlnxxxxx解一:解一:此极限为00型未定式,由罗必塔法则,则11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式.4分 解二:解二:令lntxx,则xtxe.由于当1x 时,0t,可见 001=limlim1tttteet原式.4分(2)已知xyeu,求x yu 2.解:解:由于11uuuyuxxeye,2分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3分 311(1)uuuxyeee.4分(3)求定积分(1)30 xxdx.解一:解一:由于2()dxdxx,可见原式302=1dxx2分 23.4分 解二:解二:令2,2xtxt dxtdt,;当0 x 时,0t;当3x 时,3t;1分 于是,3202=1dtt原式2分 302arctanx3分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料23.4分(4)求二重积分660cosyxdydxx.解:解:在原式中交换积分次序,得 原式600cosxxdxdyx2 分 60=cosxdx601=sin2x4 分.四、(本题满分分,每小题分)四、(本题满分分,每小题分)(1)讨论级数11)!(1nnnn的敛散性解:解:由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn,有11limlim21111(11)nnnnnneuunn,2分 故由级数收敛的比值判别法,知11)!(1nnnn收敛.3分(2)已知级数12na和2ii nb都收敛,试证明级数1nnna b绝对收敛.证:证:由于级数12na和2ii nb都收敛,所以2211()2iinab收敛.2分 而221()2n nnna bab,故由比较判别法,知级数1|nnna b收敛,即1nnna b绝对收敛.3分 五、(本题满分五、(本题满分 8 分)分)已知某商品的需求量和供给量都是价的函数:2()aDD pp,()SS pbp,其中a0和b0是常数:价格p是时间t的函数且满足方程(),()(k d ps pdtdpk是常数),假设当 t=0 时价格为 1.试求:(1)需求量等于供给量时的均衡价格eP;(2)价格函数()p t;(3)极限l()im p tt.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料解:解:(1)当需求量等于供给量时,有2abpp,即3apb.故13()eapb.1分(2)由条件知322()()dpabak D pS pkbpkpdtppb.因此有332edpbkppdtp,即233ep dpkbdtpp.3分 在该式两边同时积分得333kbteppce.5分 故由条件(0)1P,可得31ecp.于是价格函数为13333()(1)kbteep tpp e.6分(3)13333lim()lim(1)kbteeettp tpp ep8分 六、(本题满分六、(本题满分 8 分)分)在曲线2(0)yx x上某点 A 处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112,试求:(1)切点 A 的坐标;(2)过切点 A 的切线方程;(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.解:解:设切点 A 的坐标为2(,)a a,则过点 A 的切线方程的斜率为|2x aya,切线方程为22()yaa xa,即22yaxa.2 分可见,切线与x轴的交点为2(,0)2a.故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412aaaaaSx dx.4分 而由题设知112S,因此1a.5分 于是,切点 A 的坐标为(1,1),过切点(1,1)的切线方程为21yx.6分 旋转体的体积为112 22102()(21)30Vxdxxdx.8分七、(本题满分七、(本题满分 8 分)分)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料已给线性方程组1234123412341234231231231231xxxxxxxxxxxxxxxx,问1k和2k各取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷解?在方程组有无穷解的情景下,试求出一般解.解:解:以A表示方程组的系数矩阵,以(|)A B表示增广矩阵,因121112331361(|)331151510 12kkA B1211123101214002250003kk2分 故当12k 时,()(|)4RRAA B,方程组有唯一解;3分 当12k 时,有2211112311231101210121(|)42000200015100030000kkA B4分 这时,若21k,则()3(|)4RRAA B,故方程组无解;若21k,则()(|)34RRAA B,故方程组有无穷多组解,此时有 6分1123 11004 01000801211012110120 3(|)0001 20001 20001 20000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为12348;322.xxxx,取3xc(c为任意常数),得方程组的一般解:12348,3 2,2xxc xc x.8分 综上所述:当12k 时,方程组有唯一解;当12k 而21k 时,方程组无解;当12k 且21k 时,方程组有无穷多组解,其一般解为12348,3 2,2xxc xc x,其中c为任意常数.八、(本题满分八、(本题满分 7 分)分)已知向量组1,2,sa aa(S2)线性无关,设11222311,ssssaaaaaaa,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料讨论向量组12,s 的线性相关性.解:解:假设12,sk kk是一数组,满足条件11220sskkk1分 那么,有111221()()()0sssskkkkkk.由于,1,2sa aa线性无关,故有1122310000ssskkkkkkkk (*)3分 此方程组的系数行列式为s阶行列式:110001110002,1(1)011000,00011sD 若s为奇数若s为偶数5分 若s为奇数,则20D,故方程组(*)只有零解,即12,sk kk必全为 0.这时,向量组12,s 线性无关.若s为偶数,则0D,故方程组(*)有非零解,即存在不全为 0 的数组12,sk kk,使11220sskkk.这时,向量组12,s 线性相关,7 分 九、(本题满分九、(本题满分 6 分)分)设 A 是三阶方阵,A是 A 的伴随矩阵,A 的行列式.21A求行列式AA(3)21的值.解:解:因 111(3)3AA,2分 故*111|2AA AA,3分 所以311111122(3)2|333AA AAAA5分 1627.6分 十、(本题满分十、(本题满分 7 分)分)玻璃杯成箱出售,每箱?20 只,假设各箱含?0,1,2 只残次品的概率是0.8,0.1 和?0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客开箱随机观察?4 只,若无 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料残次品,则购买下该玻璃杯,否则退回.试求:(1)顾客买下该箱的概率;(2)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率.解:解:设iB箱中恰有 i 件残品次品(0,1,2i),A顾客买下所察看的一箱.1分 由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P BP BP B;419014204(|)1,(|)5CP A BP A BC;418242012(|)19CP A BC.3分(1)由全概率公式200.41.2()()(|)0.80.94519iiiP AP B P A B;5分(2)由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A BP BAP A.7分 十一、(本题满分十一、(本题满分 6 分)分)某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占 20%,以 X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出 X 的概率分布;(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理,求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.解:解:(1)X服从二项分布,参数100,0.2np,其概率分布为 1001000.2 0.8(0,1,100)kkkP XkCk.2分(2)由(,)XB n p知,20,(1)16EXnpDXnpp,4分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理,有14202030201430161616XPXP201.52.54XP 5分(2.5)(1.5)(2.5)1(1.5)0.9941 0.9330.927.6 分 十二、(本题满分十二、(本题满分 6 分)分)假设随机变量 X 在区间(1,2)上服从均匀分布.试求随机变量xYe2的概率密度 f(y).解:解:由条件知,X的密度函数为1,12()0,xp x若其他1分 记()F yP Yy为Y的分布函数,则有 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料21ln242140,2(),31,4yyeF ydxeyeye若 分若 分若 分因此22440,1()(),20,yef yF yeyeyye若若若于是(当24,ye e时,补充定义()0f y),得2441,2()0eyeyf yye若若.6分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料

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