2022考研数学满分过关1501第三章一元函数积分学重点题型一不定积分的计算【例3.1】设21()1cosfxx=+，则()fx在[]0,π上的所有原函数是__________.【详解】2222sectan1tanarctan1cossec12tan22dxxdxxdxCxxx===++++∫∫∫令1tanarctan,02222()0,21tanarctan,2222xxFxxxxππππππ−≤<==+<≤则()fx在[]0,π上的所有原函数是()FxC+，其中C为任意常数.【例3.2】计算下列积分：（1）（江苏省2004年竞赛题）2(1)()xxexdxxe−−∫；（2）21ln(ln)xdxxx−−∫；（3）（南京大学1995）1(1)xxdxxxe++∫；（4）sincos1(1)xxxdxxxe++∫；（5）254cos(2cos)sinxdxxx++∫；（6）22sin2(cossin)xxdxxxx+−∫；（7）33sinsincosxdxxx+∫.V研客2022考研数学满分过关1502【详解】（1）2222(1)(1)11()11xxxxxxxexexexxdxdxdCxexxeeexx−−==−−=+−−−−∫∫∫（2）22221ln1ln1ln1(ln)lnlnln11xxxxxdxdxdCxxxxxxxxx−−==−−=+−−−−∫∫∫（3）1(1)()11()ln(1)(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxxedxexedxdxdxeCxxexexexexexexexe++===−=++++++∫∫∫∫（4）sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsincos1(cos1)()(1)(1)(1)11()ln11xxxxxxxxxxxxxxxxedxedxdxxxexexexexexedxeCxexexe++==+++=−=+++∫∫∫∫（5）222222254cos(54cos)sin54coscos(2cos)sin(2cos)sin(2cos)(1cos)11111coscosln(2cos)1cos2cos21cosxxxxdxdxdxxxxxxxxdxCxxxx+++==−+++−+=−+=−++−+−∫∫∫∫（6）22222sin2sectan(1tan)222(cossin)(1tan)(1tan)1tanxxxxxdxxdxdxCxxxxxxxxx++−==−=+−−−−∫∫∫V研客2022考研数学满分过关1503（7）233333222222tansintansectantansincostan1tan111(1)(1)1113(1)(1)31311(1)6xuxxxxudxdxdxduxxxxuuuuudududuuuuuuuduuuu===+++++−−++==−+−+−++−+=−∫∫∫∫∫∫∫22221111ln11223314211211ln(1)arctanln163331tantan112tan1lnarctan6(tan1)33duuuuuuuCxxxCx+−−+++−−=−++−++−+−=+++∫∫【例3.3】计算下列积分：（1）3(1)(2)dxxx−−∫；（2）243(1)(1)dxxx+−∫；（3）111xdxxx−+∫；（4）11xxedxe−+∫.【详解】（1）【方法一】2311112122(1)111(1)(2)11dxxxdxdCxxxxxxx−−==−=+−−−−−−−−∫∫∫【方法二】332223211121121(2)221(1)(2...
