均值不等式在物理中的巧用实例吴广莲程志强(山东省济钢高级中学250100)【摘要】物理学习过程中,经常遇到求物理量的最大值问题,求最大值的方法很多,由于高中生数学知识有限,有些方法并不能用,而均值不等式求极值是一种很好用的方法,如果学生在解题中留心使用,将会极大地减少计算量,省时省力,收到事半功倍的效果.【关键词】高中物理;均值不等式;最值1均值不等式a1a2…an≤a1+a2+…annn,当a1=a2=a3=…an时不等式取等号.特殊情况:当n=2时,a1a2≤a1+a222.2均值不等式的应用举例2.1在静电场中的应用例1如图1所示,等量同种电荷相距2l固定放置,求其连线中垂线上电场最大的点的位置.图1解如图2在连线中垂线上任找一点P,连接PA,设∠PAO=θ,则电荷A,B在P点产生的电场强度大小都是E'=kQlcosθ2=kQcos2θl2,Ep=2E'cosπ2-θ=2kQcos2θl2cosπ2-θ=2kQl2cos2θsinθ,P点的合场强是:令k=cos2θsinθ=cos2θcos2θsin2θ=cos2θcos2θ1-cos2θ=4×12cos2θ12cos2θ1-cos2θ,图2因为12cos2θ+12cos2θ+1-cos2θ=1是定值,所以当12cos2θ=1-cos2θ时,即:cosθ=23时EP最大,最大值是43kQ9l2.2.2在电路中的应用例2如图3所示,已知电源电动势E=6V,内阻r=1Ω,保护电阻R0=0.5Ω,电压表可视为理想电表,当电阻箱R读数为多少时,电阻箱R消耗的功率PR最大,并求这个最大值.图3·12·2023年9月下例题精讲《数理天地》高中版解电路中的电流为:I=Er+R+R0,电阻箱R上消耗的功率是:P=I2R=Er+R+R02R=61+R+0.52R=361.52+R2+3RR=362.25R+R+3,因为2.25R×R=2.25是定值,所以当2.25R=R时,即R=1.5Ω时电阻箱R消耗的功率最大,最大值是Pmax=6W.2.3在力学碰撞问题中的应用物体相互作用的过程中,常常伴随着能量传递现象,研究相互作用过程中的能量传递规律很有意义,它在生产生活中有着广泛的应用.为了探究这一规律,设想如下模型.例3如图4所示,在光滑固定水平面上,有若干个质量分别为m1、m2、m3、……mk-1、mk……的小球沿直线静止依次排列,现给第1个球初动能Ek1,从而引起各球的依次碰撞.各球间碰撞速度在一条直线上,且假设发生的是弹性碰撞.定义其中第n个球依次经过碰撞后获得的动能Ekn与Ek1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k1n.图4(1)求k1n;(2)若m1=4m0,m3=m0,m0为确定的已知量.求m2为何值时,k13值最大.解(1)设第一个小球速度为v1,动能为Ek1,12m1v21+12m2v22=12m1v'21+12m2v'22,根据弹性碰撞规律:m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2,第一个与第二碰完后,第二个小球速度:v'2=2m1m1+m2v1;第二与第三个碰完后第...
