考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心串讲1为中华之崛起而读书导数的几何应用（理论）一、单调性与极值在前面的内容中，我们学会了函数极限的计算，也学会了导数的计算，我们不禁会问一个问题：我们学习这些东西有什么用呢？现在开始，我们来学习极限与导数的实际应用之一：研究函数图像.函数图像的主要研究内容，分为以下几个部分：单调性与极值，凹凸性与拐点，渐近线.（一）基本概念1.单调性设在区间上有定义，且对于任意的，且，均有，则称在区间上是严格的增函数；同理，可定义减函数.2.极值设在点某邻域内有定义，若该点去心邻域内的函数值均大于，则称是的极小值，且是一个极小值点；若该点去心邻域的函数值均小于，则称是的极大值，且是一个极大值点.注1：极值，可以通俗的理解为“局部的最值”.注2：整个函数的最值，一定在极值与端点值中产生.注3：由极值定义可知，在闭区间上的极值，只能在开区间内取得，端点不可能取得极值.当然，也并非所有函数都有极值，比如开区间内的单调函数，就没有极值（也无最值）.注4：极大值不一定就大于极小值，因为极值描述的只是“局部”（最大值一定大于等于最小值）.注5：对于连续函数而言，若在的左邻域内递增，右邻域内递减，则在处一定取得极大值——该命题中的“连续函数”不可省略！（二）判别法1.单调性对于函数，若在区间上有恒成立，则在区间上严格递增；对于函数，若在区间上有恒成立，则在区间上严格递减.注1：可导函数严格递增，无法反推出，只能推出，比如在严格递增，但由可以看出，（导数为零的点为驻点），只有当时，才有.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心串讲2为中华之崛起而读书注2：事实上，若区间内的个别孤立点处，其余地方，则仍然严格递增.注3：推不出在的邻域内递增，只能推出在右邻域的函数值比左邻域的函数值大.同理，推不出在的邻域内递减，只能推出在右邻域的函数值比左邻域的函数值小.（可用保号性进行证明）反例可以取为.易得.可以看到，，但时，中的极限为，在振荡，叠加后的就在振荡，这说明在的过程中，不断变号，故单调性不断改变（即不断振荡），而且越靠近0，振荡得就越厉害.这个例子便说明了即使，也推不出邻域内递增！2.极值(1)必要条件（费马引理）设在处取极值，且可导，则必有.(2)充分条件设在处二阶可导，且，则在处必定取极值；其实，若，则是极小值；若，则是极大值.注：推广为：若，则当是偶数时，是极值（若则是极小值，若则是极大值.），当是奇数时，不是极值...
