５５§2.6一维无限深势阱（PotentialWell）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。一、写出本征问题势场为：⎩⎨⎧≥∞<=ax,ax,0)x(U区域I（阱内，ax<）方程为：)x(E)x(dxd2II222ψ=ψμ−h(1)区域II、III（阱外，ax≥）方程为：)x(E)x()Udxd2()III(II)III(II0222ψ=ψ+μ−h(2)其中∞=0U。波函数的边界条件是：)a()a(IIIψ=ψ，)a()a(IIII−ψ=−ψ(3)二、求解本征方程我们令2E2hμ=α，20)EU(2'h−μ=α(4)则：)x(E)x(dxd2II222ψ=ψμ−h的解为:xixiIBeAe)x(αα−+=ψax<(5)５６)x(E)x()Udxd2()III(II)III(II0222ψ=ψ+μ−h的解为:x'x'IIe'Be'A)x(αα−+=ψax≥(6)x'x'IIIe''Be''A)x(αα−+=ψax−≤(7)由(6)-(7)式和波函数的有限性知:0'B,0''A==，即：x'IIe'A)x(α−=ψax≥x'IIIe''B)x(α=ψax−≤又由于∞=0U，则：∞=−μ=α20)EU(2'h于是：0)x()x(IIIII=ψ=ψ(8)而)a()a(IIIψ=ψ，)a()a(IIII−ψ=−ψ；xixiIBeAe)x(αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0BeAe0BeAeaiaiaiai(9)于是A、B不能全为零的充分必要条件为：0eeeeaiaiaiai=α−ααα−，即：0)a2sin(=α解之得：a2nπ=α，,....2,1,0n±±=(10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0BeAe0BeAeaiaiaiai，得：0BeAe2/in2/in=+ππ−即:B)1(A1n+−=代入xixiIBeAe)x(αα−+=ψ中，得：５７⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n,xa2ncosD,...6,4,2n,xa2nsinC)x(Iax<(11)其中0n=，()0x=Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n−−=不给出新的解。而0)x()x(IIIII=ψ=ψ则利用归一化条件∫+∞∞−=ψ1dx2n得：a1DC==。于是体系的本征函数：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<=π<=π=ψax0ax,5,3,1nxa2ncosa1ax6,4,2nxa2nsina1)x(nLL(12)又由于2E2hμ=α和a2nπ=α，则对应体系本征函数的本征值为:22222222na8n)a2(2nEμπ=μπ=hh(,...3,2,1n=)(13)说明：由于2nsinxa2ncos2ncosxa2nsin)ax(a2nsinππ+ππ=+π，则一维无限深势阱中粒子的定态波函数可表述为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<+π=Ψ−ax0axe)ax(a2nsina1)t,x(/tiEnnh(14)５８三、讨论1.能量量子化2222na8nEμπ=h，L,3,2,1n=其特征为：(1)n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，1n=称为基态，粒子处于能量最低的状态，即：0a8EE2221min≠μπ==h，称为零点能；(2)能量是分立的，相邻能级间距：222n1nna8)1n2(EEEμπ+=−=Δ+h...
