-309-第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。§1差分方程1.1差分方程简介规定t只取非负整数。记ty为变量y在t点的取值，则称tttyyy−=Δ+1为ty的一阶向前差分，简称差分，称tttttttyyyyyyy+−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ+++12122)(为ty的二阶差分。类似地，可以定义ty的n阶差分tnyΔ。由tyt、及ty的差分给出的方程称为ty的差分方程，其中含ty的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程02=+Δ+Δtttyyy也可改写成012=+−++tttyyy。满足一差分方程的序列ty称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程)(110tbyayayatntntn=+++−++L（1）为n阶常系数线性差分方程，其中naaa,,,10L是常数，00≠a。其对应的齐次方程为0110=+++−++tntntnyayayaL（2）容易证明，若序列)1(ty与)2(ty均为（2）的解，则)2(2)1(1tttycycy+=也是方程（2）的解，其中21,cc为任意常数。若)2(ty是方程（2）的解，*ty是方程（1）的解，则*)2(tttyyy+=也是方程（1）的解。方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I）先求解对应的特征方程0110=+++−nnnaaaLλλ（3）（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有n个互不相同的实根nλλ,,1L，则齐次方程（2）的通解为tnntccλλ++L11（ncc,,1L为任意常数）（ii）若λ是特征方程（3）的k重根，通解中对应于λ的项为tkktccλ)(11−++L，),,1(kiciL=为任意常数。（iii）若特征方程（3）有单重复根iβαλ±=，通解中对应它们的项为tctcttϕρϕρsincos21+，其中22βαρ+=为λ的模，αβϕarctg=为λ的幅角。（iv）若iβαλ±=是特征方程（3）的k重复根，则通解对应于它们的项为ttccttcctkkktkkϕρϕρsin)(cos)(12111−+−+++++LL-310-)2,,1(kiciL=为任意常数。（III）求非齐次方程（1）的一个特解ty。若ty为方程（2）的通解，则非齐次方程（1）的通解为ttyy+。求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的)(tb也可使用待定系数法。例如，当)()(tpbtbkt=，)(tpk为t的k次多项式时可以证明：若b不是特征根，则非齐次方程（1）有形如)(tqbkt的特解，)(tqk也是t的k...
