-360-第二十章偏微分方程的数值解自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。§1偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222yxfyuxuu=∂∂+∂∂=Δ（1）特别地，当0),(≡yxf时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=Δyuxuu（2）带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。Poisson方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(|),(),(),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuyxϕ（3）其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩU称为定解区域，),(),,(yxyxfϕ分别为ΓΩ,上的已知连续函数。第二类和第三类边界条件可统一表示成),(),(yxunuyxϕα=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∂∂Γ∈（4）其中n为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件，0≠α时为第三类边界条件。在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。其最简单的形式为一维热传导方程)0(022>=∂∂−∂∂axuatu（5）方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy问题）-361-⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞−=+∞<<∞−>=∂∂−∂∂xxxuxtxuatu)()0,(,0022ϕ（6）初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤===<<<<=∂∂−∂∂TttgtlutgtuxxulxTtxuatu0),(),(),(),0()()0,(0,002122ϕ（7）其中)(),(),(21tgtgxϕ为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21glg==ϕϕ问题（7）中的边界条件)(),(),(),0(21tgtlutgtu==称为第一类边界条件。第二类和第三类边界条件为TttgutxuTttgutxulxx≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∂∂==0),()(0),()(22101λλ（8）其中0)(,0)(21≥≥ttλλ。当0)()(21≡=ttλλ时，为第...
