第31卷第1期2001年1月数学的实践与认识MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYVol131No11Jan.2001钢管的订购和运输解答模型邵铮,周天凌,马健兵指导老师:扈志明(清华大学,北京100084)编者按:本文把B题的问题1和3归结为网络最小费用流问题,建立了线性和非线性最小费用流模型,并运用相应的解法和分支定界法求解,叙述清晰,简洁,层次分明.本刊予以部分发表.我们指出:本文的网络流模型和线性规划中标号运输问题模型是等价的.摘要:首先通过最短路算法简化了供需距离网络,去掉了铁路、公路等边的性质,使供需距离网络简化为一个供需运输价格表.在此基础上构造了三个模型:线性费用的网络流模型、改进的线性费用的网络流模型和具有非线性费用的网络流模型.通过改进传统的最小费用最大流算法,解决了本题的非线性费用网络流模型,并给出了算法的正确性证明与复杂度分析.关键词:运输问题;网络流;树形网络;分支定界1问题的提出(略)2基本假设和符号说明2.1基本假设1.原图是一个连通的简单图;2.铁路、公路的运量没有限制;3.为了满足费用最小的要求,允许出现生产过剩现象;4.工厂的数目(图中S点的个数)不太多,约在10个以下;5.待铺设的钢管长度不太长,约在10000公里以下;6.待铺设的线路的段数不太多,约在40段以下;7.公路运输不足整公里部分按整公里算.2.2符号说明1.工厂(图中S点),设有n个,记作S1、S2,⋯Sn;2.在不至于混淆的情况下,Si同时用来表示每个工厂的产量,i=1,⋯n;3.待铺设线路的端点(图中A点,以后简称关节点),设有m个,记作A1、A2,⋯Am;4.在不至于混淆的情况下,Aj同时用来表示从各个工厂运到Aj的钢管总数量,j=1,⋯m;5.待铺设的管道,记作Pjk(j≠k),表示Aj与Ak之间有一条待铺设的管道,它的长度也用Pjk来表示,如果Aj与Ak之间没有待铺设的管道,则Pjk=0;6.SAQij表示从Si到Aj的运输量,i=1,⋯n,j=1,⋯m;7.SAPij表示从Si到Aj运输单位长度钢管的最小费用,i=1,⋯n,j=1,⋯m;8.AAQjk表示Aj提供的用于铺设Aj与Ak之间管道的长度,j,k=1,⋯m.显然有AAQjk+AAQkj=Pjk;9.下文所有费用的单位均为千元.3问题的分析与简化3.1问题的分析整个铺设管道的工程看似错综复杂,其实可分为三个部分:1.各个工厂(S点)生产一定数量的钢管2.把钢管从工厂(S点)运送到铺设管道的关节点(A点)3.从关节点(A点)将管道运至铺设地点这三个部分是相互依赖的,不能简单地把三个部分孤立开来讨论.但是通过仔细观察,我们发现第二部分中的运费事实上只与出发点(S点)、目标点(A点)和运量有关,并且是运量的线性函数,具备可叠加...
