考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书数列极限的计算与证明（理论部分）主讲人：凯哥一、数列极限的通俗理解对于数列，当时，若的值与常数无限接近，便称为数列的极限，也称数列收敛于，记为.注1：数列极限只有这一种情况，不能趋向于某个点，也不能趋向于负无穷；注2：由于数列的取值是离散的、不连续的，不可导，所以不能用洛必达法则直接求数列极限！比如就是错误的，但如果将离散的改为连续的，则.注3：从注2可以看出，若，则；但是反之不一定对，当时，不一定等于.比如：取，则，但却不存在.注4：，即“数列极限收敛的充要条件是其奇偶项均收敛，且收敛于同一数值”.二、极限的存在准则（用来证明极限存在）（一）单调有界准则若单调递增，且有上界，则收敛；若单调递减，且有下界，则收敛.注：如何证明数列的单调性和有界性，是数列极限的核心考法.（二）夹逼准则若，且，则一定存在，且.注1：夹逼准则可以推广到函数极限——设，，则一定存在，且.注2：夹逼准则中的如果被替换为，则结论不一定成立.因为由极限的四则运算法则，当时，和可能相等，但也可能都不存在.比如，此时满足“且”，但不存在.注3：单调有界准则一般用来证明形如“”的这类递推数列极限存在（大题重点考法）；夹逼准则一般用来计算项和的极限.
