4.4.2数学归纳法的简单应用 课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP免费

4.4.2数学归纳法的简单应用第四章数列凯里一中尹洪January26,2025（一）创设情境揭示课题【回顾】数学归纳法(mathematicalinduction)（1）归纳奠基证明当0nn*0()nN时命题成立（2）归纳递推以“当*0(,)nkkNkn时命题成立”为条件，推出“当1nk时命题也成立”.由（1）（2）可知，命题对任何*nN都成立.【用途】数学归纳法用于解决关于正整数n的猜想与命题.（二）阅读精要研讨新知例题研讨学习例题的正规表达学习例题的常规方法从例题中学会思考如何看例题阅读领悟课本4749PP例2、例3、例4例2用数学归纳法证明：2222*1123...(1)(21)()6nnnnnN①证明：（1）当1n时，①式的左边111，右边112316,所以①式成立.（2）假设当*()nknN时，①式成立，即22221123...(1)(21)6kkkk所以1nk时，22222123...(1)kk21(1)(2(1)61)kkkk1(1)[(26(1)1)]6kkkk21(1)(276)6kkk1(1)(2)(23)6kkk1(1)[(1)1][2(1)1]6kkk即当1nk时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何*nN都成立.例3已知数列{}na满足*1110,21()nnnaaaanN，试猜想数列{}na的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解：由1121nnnaaa，可得*11()2nnanNa由10a可得211122aa，同理可得343121314,,.123345222234aaa归纳上述结果，猜想*1()nnanNn①下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n时，①式的左边10a，右边1101,猜想成立.（2）假设当*()nknN时，①式成立，即1kkak那么111(1)112112kkkkakakkk，即当1nk时，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想对任何*nN都成立.例4设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列211,1,(1),...,(1),...nxxx的前n项和为nS，试比较nS与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法1：由已知可得211(1)(1)...(1)nnSxxx当2n时，21(1)2Sxx,由0x，可得22S；当3n时，2231(1)(1)33Sxxxx,由0x，可得33S由此，我们猜想，当*0,xnN且1n时，nSn.下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当2n时，由上述过程知，不等式成立.（2）假设当*(nkkN,且2)n时，不等式成立，即kSk，由0x，可得11x，所以(1)1kx于是1(1)(1)1kkkkSSxkxk所以，当1n...