第一章1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示空间向量与立体几何凯里一中尹洪January26,2025（一）创设情景揭示课题【问题】能否像平面向量一样，利用空间向量解决空间中的几何问题？如何研究空间中点、直线、平面的位置关系以及平行、垂直、三种角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）的问题.（二）阅读精要研讨新知【课堂研修】阅读课本2628PP，理解记忆新概念.1.空间中点、直线和平面的向量表示空间中点的向量表示在空间中，取定点O作为基点，把向量OP�称为点P的位置向量.空间中直线的向量表示a是直线l的方向向量，ABa�,P是直线l上的任一点，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使APta�，即APtAB�对空间中的任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta�或OPOAtAB�都称为空间直线的向量表示式.空间中平面的向量表示设两条直线相交于点O,方向向量分别为a和b，P为平面内任一点，存在唯一的有序实数对(,)xy,使得OPxayb�.对空间中的任一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数,xy,使OPOAxAByAC�，称为空间平面ABC的向量表示式平面的法向量直线l，直线l的方向向量a称为平面的法向量(normalvector).给定一个点A和一个向量a，过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{|0}PaAP��.例题研讨学习例题的正规表达学习例题的常规方法从例题中学会思考如何看例题阅读领悟课本28P例1例1如图1.4-7，在长方体1111ABCDABCD中，14,3,2ABBCCC，M是AB的中点,以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.（1）求平面11BCCB的法向量；（2）求平面1MCA的法向量.解：（1）因为y轴平面11BCCB，所以1(0,1,0)n�是平面11BCCB的一个法向量.（2）由已知，1(3,0,0),(3,4,0),(0,4,0),(3,0,2),(3,2,0)ABCAM所以1(3,2,0),(0,2,2)MCMA�设2(,,)nxyz�是平面1MCA的法向量，则221,nMCnMA�所以2212(,,)(3,2,0)03203220(,,)(0,2,2)0nMCxyzxyxzyznMAxyzyz��，令3z，则3,2yx，所以2(2,3,3)n�是平面1MCA的一个法向量.小组互动完成课本29P练习1、2、3同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现思考与感悟1．（多选）设(1,2,1),(3,1,2)AB是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量a的坐标可以是（）A．(2,1,...
