1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题学习目标课程标准学科素养1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．3.会用向量法求线线、线面、面面夹角．4.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理自主学习分类图示向量求法点线距u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP→＝a，AP→在直线l上的投影向量为AQ→＝(a·u)u，则PQ＝|AP→|2－|AQ→|2＝.线线距转化为点线距在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．点面距设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP→在直线l上的投影向量为AQ→，则P点到平面α的距离PQ＝一．空间距离的向量求法|AP→·n||n|a2－（a·u）2自主学习线面距（前提是线面平行）转化为点面距如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．面面距（前提是面面平行）转化为点面距如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．解读：异面直线a，b间的距离求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量n，在两条直线上分别取A和B，则在法向量n上的投影向量的长度即为异面直线a，b的距离，所以距离为.自主学习二．空间角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．自主学习角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝＝直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝平面α与平面β的夹角为θ设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝＝|cos||u·v||u||v|0，π2|cos||n1·n2||n1|·|n2|0，π2|cos||u·n||u||n|0，π2自主学习图（1）直线与平面所成角图（2）平面与平面所成角自主学习思考1：平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.思考2：两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角....
