第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题空间向量与立体几何凯里一中尹洪January26,2025（一）创设情景揭示课题【问题】空间中的距离包括点与点、点到直线、点到平面、两条平行直线、两个平行平面的距离等，如何通过空间向量有效解决上述问题？（二）阅读精要研讨新知【发现】空间中两点间的距离已知121221(,,),(,,)AxyBxyzz，则222121221()||()()ABxxyzyz空间中点到直线的距离直线l的单位方向向量为u，APa�在直线l上的投影向量()AQauu�，则点P到直线l的距离为2222()||||APAQPQaau�两条平行线的距离转化为点到直线的距离空间中点到平面的距离n是平面的法向量，,AP，则点P到平面的距离为||||APnPQn�两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离例题研讨学习例题的正规表达学习例题的常规方法从例题中学会思考如何看例题阅读领悟课本34P例6例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线1AC的距离；（2）求直线FC到平面1AEC的距离.解：如图，以1D为原点，11111,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系1Dxyz，则111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),ABC(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)ABC，11(1,,0),(1,,1)22EF.所以11(0,1,0),(1,1,1),(0,,1),2ABACAE�1111(1,,0),(1,,0),(0,,0)222ECFCAF�（1）取113(0,1,0),(1,1,1)3||ACaABuAC����，则231,3aau所以，点B到直线1AC的距离为2216()133aau例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段11AB的中点，F为线段AB的中点.（1）求点B到直线1AC的距离；（2）求直线FC到平面1AEC的距离.（2）因为11(1,,0)2FCEC�，所以1//FCEC,所以//FC平面1AEC.所以点F到平面1AEC的距离即为直线FC到平面1AEC的距离.设平面1AEC的法向量为(,,)nxyz,则11(,,)(0,,1)021(,,)(1,,0)02nAExyznECxyz����102102yzxy，令2y，则1,1xz，所以(1,2,1)n是平面1AEC的一个法向量，又1(0,,0)2AF�所以点F到平面1AEC的距离为1|(0,,0)(1,2,1)|||626||6AFnn�因此直线FC到平面1AEC的距离为66.【发现】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，...
