专题训练6导数的恒成立问题一、解答题1．已知函数，.（1）当时，求证：在上单调递增；（2）当时，，求的取值范围.2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．3．已知函数，．（1）当，时，求证：；（2）当时，若，求实数的取值范围．4．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.5．已知函数.（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.6．已知函数.（1）若，讨论的单调性﹔（2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值.7．已知函数，，其中为自然对数的底数，.（1）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围；（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围.8．已知函数，.（1）当时，求证：；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.9．已知函数，.（1）若，证明：；（2）若，求的取值范围.10．已知函数.（1），时，讨论函数的导数的单调性；（2）时，不等式对恒成立，求实数的取值范围.11．已知函数，.（1）当时，求证：当时，；（2）若在上恒成立，求a的取值范围.12．已知函数，，其中，.（1）若函数无极值，求的取值范围；（2）当取（1）中的最大值时，求函数的最小值；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.13．已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；（2）当时，，求实数m的取值范围.14．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数t的取值范围；(2)当时，对任意的，恒成立，求整数n的最小值．参考答案1．（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）当时，，则，又在上单调递增，且，，∴存在，使得，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴， ，∴，，∴，∴在上单调递增.（2）解法一：问题等价于(记为式)在上恒成立，令，， ，∴要使式在上恒成立，则必须，即，下面证明当时，在上恒成立. ，∴，∴，易证，∴，∴当时，在上单调递增，∴，即式在上恒成立.故的取值范围是.解法二：依题意得在上恒成立，当时，式恒成立，∴，当时， ，式等价于在上恒成立.令，.易证，∴，令，∴，∴在上单调递减，∴，即，∴，令，，∴在上单调递减，∴，即，∴，即的取值范围是.2．（1）见解析；（2）．【解析】（1）由题知，的定义域为，∴．（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性）当时，在上恒成立，故在上是增函数；当时，令得在上有，在上有...
