第二章第8炼函数方程问题的分析函数及其性质第8炼函数方程问题的分析一、基础知识：1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2、双变量函数方程的赋值方法：（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程（1）：（2）：（3）①当时，：②当时，：二、典型例题例1：已知函数对任意的均有，且当时，（1）求证：为奇函数（2）求证：为上的增函数（1）思路：要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第8炼函数方程问题的分析函数及其性质，则有，再通过代入特殊值计算出即可解：（1）令，则令，则解得为奇函数（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑，进而。只需判断的符号即可解：任取，且，令，代入方程可得：，依题意可得：即为增函数小炼有话说：第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的例2：已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时，（1）求的值（2）求证：在上是增函数（3）求不等式：的解集解：（1）令，则有，解得或令可得：（2）思路：考虑证明单调递增，则需构造出，即可设且令，则有，从而本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第二章第8炼函数方程问题的分析函数及其性质，由和已知条件可得：所以需要证明，即，，可考虑结合题目条件和，令，则有，从而单调性可证证明：，则令，代入函数方程有：，下证由已知可得，时，所以只需证明时，令，即在上单调递增（3）思路：本题并没有的解析式，所以考虑利用函数的单...
