学科网（北京）股份有限公司第22讲切线与切点弦问题一、问题综述1.切线1）定义：设直线与曲线交于两点，当直线连续变动时，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线.注：若曲线为二次曲线，记其方程为，直线的方程为.若方程组有两个不同的解，则直线与二次曲线相交，当这两个交点重合为一点时，就称直线与二次曲线相切，直线就称为二次曲线在这一点处的切线，这一公共点称为切点.2）切线方程：1）过圆上一点的切线方程：；2）过椭圆上一点的切线方程：；3）过双曲线上一点的切线方程：；4）过抛物线上一点的切线方程：.注：替换的规则是.2.圆锥曲线的切点弦1）定义：从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦.2）切点弦方程：1）设为圆外一点，则切点弦方程为：；2）设为椭圆外一点，则切点弦方程：；3）设为双曲线外一点，则切点弦方程：；4）设为抛物线外一点，则切点弦切线方程：.注：点与切点弦为圆锥曲线的极点和极线.二、典例分析类型1：过曲线外一点的切线方程【例1】求椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程.解法：（1）当其中一条切线斜率不存在时，交点为中的一个；学科网（北京）股份有限公司（2）当两条切线斜率存在时，设点，切线方程为.由消去得.由，得，当时，由得.又当时，也满足.所以所求点的轨迹方程为.【例2】【2012广东文20】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.解法：（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以所以椭圆的方程为.（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，，消去并整理得因为直线与椭圆相切，所以整理得①学科网（北京）股份有限公司，消去并整理得因为直线与抛物线相切，所以整理得②综合①②，解得或所以直线的方程为或【方法小结】根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.类型2：以曲线上一点为切点的切线方程【例3】如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.（I）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（II）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.解法：（Ⅰ）解法1：韦达定理设切线，代入，得,由题意知，即，解...
