学科网（北京）股份有限公司第28讲仿射变换一、问题综述设椭圆，作变换得单位圆，记点在变换下的对应点分别为，设直线和的斜率分别为（斜率存在且非零），和的面积分别为．则变换有以下性质：性质1：共线结合性，即；；．性质2：或．证明：．性质3：线段中点变成线段中点．性质4：直线与曲线的位置关系保持不变．性质5：直线上线段成比例，则变成直线上对应的线段仍成比例．性质6：或，证明：因为，即证之．性质7：设线段在伸缩变换下的像为，显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找的关系：即设线段所在直线斜率为，则．二、典例分析类型1：取值范围型【例1】设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．学科网（北京）股份有限公司解析：令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．由直线和圆相切的充要条件可知，即，故得，即，解得．【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解．类型2：三角形面积最值型【例2】若是椭圆上的三点，求面积的最大值．解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆．此时椭圆的内接就变成圆的内接，而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大，从而的最大值是，还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知，的最大值是．【例3】已知椭圆，面积为的椭圆内接四边形有（）．A．个B．个C．个D．个解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆，此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形，学科网（北京）股份有限公司当椭圆的内接四边形的面积时，其对应的圆内接四边形的面积就是，由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为，而这样的内接正方形有无数个，还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，故选D．【例4】（2014年高考全国新课标1卷理第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．解析：（Ⅰ）椭圆的方程为．（Ⅱ）由伸缩变换，椭圆（如下图）变成了单位圆，变为，设直线的方程为．原点到直线的距离为，圆与直线相交，则需要满足，从而易得，则，学科网（北京）股份有限公司则当且仅当，即时，，此时直线的斜率为，且．又直线过点，所以直线的方程为或．【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解．类型3：...
