1学科网（北京）股份有限公司第12讲轨迹方程问题一、问题综述教材中明确提出，解析几何研究两件事：（1）求曲线方程；（2）利用方程研究曲线的性质，求曲线方程或者求点的轨迹方程是解析几何所有问题的发端，应当给与足够的重视。其方法一般有：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法，涉及到中点弦可用点差法等。下面我们通过具体题目回顾求轨迹方程的几种方法，同时分析那种方法在那种情况下较好一些，更适合我们。二、典例分析类型1：直接法【例1】设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是.解析：设，可知.注：直接法的五个步骤简称：建系，集合，方程，化简，证明。其中建系，集合，证明往往可以省略，只需要方程和化简两个步骤。我们要留意证明，要保证曲线的方程的纯粹性和完备性.类型2：相关点法【例2】已知,分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的动点，则的重心的轨迹方程为.解析：依题意知，，设，，则由三角形重心坐标公式可得,反解即，代入椭圆，2学科网（北京）股份有限公司得重心的轨迹方程为.注：相关点法，它一般是由已知点的轨迹方程来求未知点的轨迹方程，题目会给我们一个桥梁，或者是中点公式，或者是向量表达式，我们根据桥梁建立已知和未知的关系式，然后反解，用未知点来表示已知点，然后代入已知点的轨迹方程，可得未知点的轨迹方程，所以又称代入法。类型3：定义法【例3】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设圆的圆心为，半径为.因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.注：解析几何是用代数研究几何，但是究其本质还是几何，或者说几何性质是解析几何中简化运算最巧妙的手段，而几何图形最基本的几何性质就是定义，要善于发现题目中隐含的几何性质，善于从代数式中分析其几何特征，从而找到问题更简单的解法.类型4：参数法【例4】过平面直角坐标系内定点作两条互相垂直的直线分别交轴，轴正半轴于，两点，求中点的轨迹方程.解析：设过点的一条直线为：，与轴正半轴于，其坐标为，设过点的另一条直线为：，与轴正半轴于，其坐标为，由中点公式可得的坐标为：，消去参数，可得：.当不存在或者为时，解得满足此直线方程，所以的轨迹方程为：.3学科网（北京）股份有限公司注：求动点的轨迹方程，当动点的横纵坐标的...
