学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第17讲立体几何的最值问题一、学习目标1.会将空间问题转化为平面问题；2.会用传统法和坐标法处理空间角与距离问题；3.体会旋转问题的等价转化.二、典例分析例1.（1）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值是_______.（2）如图1，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，线段的中点，若分别是上的动点，则的最小值是______.【答案】（1）；（2）B.变式：1．在长方体中，，，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C例2.（1）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，1111ABCDABCD2AB11BCAAP1ACQABCDPQ1BPPQ23322学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．（2）如图，在矩形ABCD中，，，点E为AD的中点，将的位置，在翻折过程中，不在平面BCDE内时，记二面角的平面角为，则当最大时，的值为__________.【答案】（1）A，（2）.变式：1．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（）A．当时，随着的增大而增大B．当时，随着的增大而减小C．当时，随着的增大而减小D．当时，随着的增大而增大【答案】D2.已知平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，如图，若，均是线段的三学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司等分点，点是线段上（包含端点）的动点，则二面角的正弦值的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B例3.（1）如图，在中，，若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是______（2）矩形ABCD中，AB=1，AD=，现将△ABD绕BD翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，直线和直线CD所成角的余弦值为___________.【答案】（1），（2）.变式：1.已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，，两点间的距离是.【答案】ABCDABADCDAD222ABADCDACDB3学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司例4.（1）如图，三棱锥的底面在平面内，所有棱均相等，是棱的中点，若三棱锥绕棱旋转，设直线与平面所成的角为，则的取值范围为（）A．B．C．D．（2）已知正四面体的棱长为2，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，点均在平面外，则棱的中点到的距离的取值范围是________.【答案】（1）A，（2）.变式：1.如图，正四面体ABCD的棱CD...
