第11讲：椭圆左右顶点有关的极点极线结构解析几何中设而不求、整体代换时，通常是将点的坐标代入表达式后整体代换，或使用韦达定理出现两根的和与积，再整体代换。以下通过两例展现另一种整体代换的方法，颇具美感。例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：和直线l：，（其中r和a均为常数，且），M为l上一动点，A、B为圆C与轴的两个交点，直线、与圆C的另一个交点分别为P、Q。求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标。析：设、、、、，根据图形的对称性，设定点由题知与共线，得………①与共线，得………②①+②得：………③①-②得：………④与共线，得………⑤又因为：………⑥………⑦⑥-⑦得：………⑧为看清以上等式，设则由③④⑤⑧式得：相除得：，得故PQ过定点。评：（1）本题较难，常规运算很复杂，极少有同学能够计算彻底。（2）由向量共线得分式①②，将其进行加减运算，得③④，结合假设定点N与P、Q共线方程，利用点P、Q在圆上，将⑥⑦相加减，为了将问题看清，重新整体换元，得最后方程组，再相除得结果。（3）本题中分式加减后构造元素进行整体消元的方法，计算量小，形式优美。（4）数学美有简洁美、对称美、和谐美、奇异美等，本题的解法中都有体现。例2已知椭圆C：，设点，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q。解析：设，，，。由题知，与共线，故有……①。同理可得：与共线，故有……②。E(x0,y0)P(4,0)B(x1,-y1)OQ(m,0)A(x1,y1)x将①×②得：……③又由点A、B、E均在椭圆上，故有与③比较，从而得：。所以直线AE与x轴相交于定点Q。评：（1）本题是椭圆中的中档难度题，改作其他方法作答也可得。（2）使用分式①②相乘后即得可以整体换元的方程。求解过程计算量小，形式优美。练习：1.如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A、B两点，，C、D是椭圆E上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N。（1）求a、b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。2.设椭圆C：，当过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A、B时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上。3.已知椭圆，、是左右顶点，，直线MN过点D交椭圆于M、N，直线、相交于点G。证明：点G在定直线上。GNA1A2ODMxy答案：1析：（1）椭圆方程为：。（2）设，，，由点A、N、D三点共线与共线，故有………①由点A、C、M三点共线与共线，故有……②由点B、N、C三点共...
