1学科网（北京）股份有限公司第5讲向量与解析几何一、问题综述本讲研究向量问题与解析几何交叉问题，具体如下：1.利用向量线性的关系，将几何问题代数化；2.利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题；3.利用向量夹角，合理处理解析几何中的角度问题；4.利用数量积坐标形式、投影解决几何问题.二、典例分析类型一：利用向量线性的关系，几何问题代数化【例1】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意设，由，，即设直线的方程为联立直线与抛物线方程，消元得故即【例2】（2018年浙江高考17题）已知点，椭圆上两点满足，则当时，点横坐标的绝对值最大.【答案】【解析】若直线的斜率不存在，那么，不是最大值；设直线，，.2学科网（北京）股份有限公司由知，所以.因此，当且仅当，即时取等号.解法2：设则，，又均在椭圆上，则.而，则当时，取得最大值为4.【例3】（2018学年金丽衢十二校第二次联考17）过点的直线与椭圆交于点和，且，点满足.若为坐标原点，则的最小值为.【答案】.【解析】解法1：常规处理（运算量偏大）情形一：直线斜率存在时，设直线为，联立：由于点在椭圆内部，显然；由韦达定理有：3学科网（北京）股份有限公司联立.处理1：（柯西不等式求最值）.处理2：（几何意义求最值）情形二：当直线斜率不存在时，直线方程为，此时.综上所述.解法2：定比点差（运算量较小）设点，（*），代入（*）式有.所以的轨迹方程为直线.注：背景解读：4学科网（北京）股份有限公司过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足，则点在直线上.证明方法：定比点差法.类型二：利用向量垂直的充要条件，巧妙化解几何中的垂直问题【必要储备】两个非零向量垂直的充要条件是，如，，则．【例4】（2017届广西武鸣县高中高三月考）已知椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得以线段为直径的圆过原点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为.由点在椭圆上，所以，解得.（2）设则且又，以线段为直径的圆过原点，则OP⊥OM，即，所以=由①②得：，所以.5学科网（北京）股份有限公司【例5】（江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试）设点是圆上任意一点，点是点在轴上的投影，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2...
